Intégrales

[mehdi-128]

Bonjour,j'ai bloqué et d'ailleurs personne que je connaisse n'a réussi cette question du sujet de mathématiques de centrale 2007,et par curiosité j'aimerai connaitre la réponse:

Soit g une fonction continue sur R ,à valeurs complexes,continue par morceaux et T périodique et soit k appartenant a Z,étudier:

lim(t->+inf) [1/t *int(0..t) exp(ikx)*g(x)dx ]

On pourra distinguer le cas:kT appartenant a 2.Pi.Z .

merci....

[fahr451]

bonjour

généralisation du lemme de riemann lebesgue

[mehdi-128]

Ca me dit absolument rien.....

[fahr451]

rien à voir oublie

c'est direct non

t = nT + r avec 0=

[fahr451]

pas lieu de distinguer

réponse 1/T intégrale de 0 à T exp(ikx)g(x)

[fahr451]

rien à voir oublie

[fahr451]

1 cas

kT = 2pim , m entier

donc 2pi/k = T/m

f(x) = exp(ikx) est 2pi/k = T/m périodique donc T périodique et g aussi

et en découpant t = nT +r avec 0=
une limite égale à 1/T intégrale de 0 à T de fg

[fahr451]

2 ieme cas

on redécoupe

on a

intégrale de 0 à nT = sigma m= 0,...,n-1 intégrale mT à (m+1)T

= sigma exp (ikmT) intégrale 0 à T de fg


= (1 - exp(iknT)/(1-exp(ikT) intégrale 0 à T = bornée.
c'est la que exp(ikT) distinct de 1 intervient

on trouve une limite nulle grâce au n du dénominateur

[mehdi-128]

merci......

[mehdi-128]

Je comprends pas le passage:
et en découpant t = nT +r avec 0=
une limite égale à 1/T intégrale de 0 à T de fg

Et aussi: ntégrale de 0 à nT = sigma m= 0,...,n-1 intégrale mT à (m+1)T

= sigma exp (ikmT) intégrale 0 à T de fg


merci....

[fahr451]

1 cas fg T périodique

pour t = nT +r 0=

je pose A(t) = intégrale du début


A(t) = (1/t) [ intégrale de 0 à T +intégrale de T à 2T +....+
intégrale de (n-1)T à nT +intégrale de nT à nT+r


les n premières intégrales sont égales à la première par périodicité

la dernière vaut intégrale de 0 à r

d'où A(t) = (n/t) intégrale de 0 à T + (1/t) intégrale de 0 à r

T=< t/n < T + T/t donc t/n ->T
le premier terme a la bonne limite

et la deuxième intégrale est bornée

donc le deuxième terme tend vers 0

[mehdi-128]

Ah ok compris merci.