Intégrales

par **matthieu45** » 28 Sep 2006, 21:30

Bonsoir, j'ai une égalité à montrer qui me gêne :
Je dois montrer que lorsque n tend vers l'infini,
int(1/((ln(t))^2),t=2..n)=o(int(1/ln(t),t=2..n)

J'essaye d'appliquer une intégration par parties à la deuxième intégrale afin de faire apparaitre du 1/l(n(t))^2.
Je trouve ainsi (int(1/ln(t),t=2..n)=x/lnx - 2/ln2 + int(1/((ln(t))^2),t=2..n)

mais après je ne vois pas comment me ramener à la question ?!?
Si vous avez des idées n'hésitez pas, et merci d'avance !

par **tize** » 28 Sep 2006, 22:05

Je pense que tu peux faire comme ça :

et faire une IPP avec

et

en divisant ensuite le résultat trouvé par

, on trouve le résultat demandé
...

par **sandrine_guillerme** » 28 Sep 2006, 22:10

bonsoir ,
J'ajoute rien a mon professeur Tize :p
apart d'une petite astuce pour les IPP

j'espère que les profs de math me turont pas allez je le dis l'astuce c'est ALPES ( A=arctan L=log P=polynome E=exponentielle S=tout ce qui reste) donc u sera la fonction qui est prioritaire dans le ALPES)
A+ :hein:

par **matthieu45** » 28 Sep 2006, 22:19

oui c'est ce que j'avais fait, mais comment montrer après que
(int(1/ln(t),t=2..n)=n/lnn - 2/ln2 + int(1/((ln(t))^2),t=2..n) / (int(1/ln(t),t=2..n) tend vers 1 quant n tend vers +inf.

Euh, pour ALPES, j'ai pas vraiment compris ... :hein:

par **sandrine_guillerme** » 28 Sep 2006, 22:25

Je vais attendre la réponse de tize après je t'explirais mieux le fameux ALPES

par **tize** » 28 Sep 2006, 22:33

Bon moi je trouve :

et du coup en divisant par

, on a :

la fraction avec 2 au numérateur tend vers 0 quand

reste à montrer que la dernière fraction tend vers 0 aussi...

par **sandrine_guillerme** » 28 Sep 2006, 22:37

matthieu45 a écrit:Euh, pour ALPES, j'ai pas vraiment compris ... :hein:

tu sais que pour le choix de u est important l'astuce que je t'ai donné t'aide à aller efficacement

bref je m'explique
tu a dans l'integrale le produit de deux fonction et tu ne sais pas vraiment celle qui faut choisir pour la dérivé donc la priotaire a deriver de toutes les fonctions c'est Arctan .. et ainsi de suite en respectant l'ordre dans ALPES
Compris ?

par **matthieu45** » 28 Sep 2006, 22:38

justement je ne vois pas pourquoi la fraction avec 2 au numérateur tend vers 0, cela voudrait dire que (int(1/ln(t),t=2..n) tend vers +inf, et comment le démontrer ?

par **tize** » 28 Sep 2006, 22:43

Ba comme ça :

donc

donc :

je te laisse finir ...?

par **matthieu45** » 28 Sep 2006, 22:58

oui en effet c'était tout bête, mais pour la fraction avec n au numérateur, comment montrer que la fraction tend vers 0 ?

par **tize** » 28 Sep 2006, 23:05

En remarquant que pour

,

donc

d'ou :

Je te laisse finir...?

par **tize** » 28 Sep 2006, 23:16

Je retire ce que j'ai ecrit c'est faux...désolé ...

par **tize** » 29 Sep 2006, 00:10

Bon j'espère avoir l'esprit plus frais ce matin...
Avec une IPP, on a :

d'ou :

La dernière fraction tend vers 0, cela à déjà été montré précédement. Pour montrer que

il ne reste donc plus qu'à montrer que :

Autrement dit que :

par **matthieu45** » 29 Sep 2006, 09:52

Sauf que montrer l'équivalence n/ln(n), c'est demandé dans la question d'après !!!

par **tize** » 29 Sep 2006, 10:03

Attends, j'ai beaucoup plus simple je crois...
Il y à un théorème qui dit que sous certaine condition, si f=o(g) alors :

et ici ca serait super bien avec

et

Oui c'est bien ça, pour cela il suffit que

diverge, ce qui est bien le cas ici

par **tize** » 29 Sep 2006, 10:33

Voilà comment procéder : soir

Il est facile de voir que

donc

De plus

diverge, il existe donc

tel que :

et par Chasles :

par **tize** » 29 Sep 2006, 10:43

Maintenant qu'on à montrer que :

,
en faisant ce que l'on voulait faire au début avec une IPP, on à nécessairement

Qu'en penses-tu ?

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