Intégrales et séries de fourier

[surf-555]

Bonsoir,
j'ai f (x)=sum(n=-inf ,+inf)exp(-(x-2n*Pi)^2)
je dois montrer que f est C1(R) est-ce le théorème de dérivation?

Ensuite j'ai : g(y)=intégrale(-inf,+inf)exp(-u^2-iyu)du

en fait pour montrer que g definie sur R c'est évident avec le théorème de continuité la ou j'ai un problème c'est pour trouver une équaton différentielle du premier ordre et à en déduire la série de fourier de f.

on donne: int(-inf,+inf)exp(-u^2)du=sqrt(Pi)

[Flodelarab]

[Flodelarab]

[surf-555]

oui exactement c'est ca.

[Flodelarab]

Définition 7 : On dit qu’une application f d’un ouvert de O de Rn dans R, est continûment différentiable (ou de classe C1) si :

· Les n dérivées partielles existent en tout point de O.

· Les n fonctions que ces dérivées partielles définissent sont continues en tout point de O.

Betement, je ferais une récurrence.

Pour la suite, je sais pas faire ça sur un coin de table
désolé

[fahr451]

cf flore on a une fontion d 'une seule variable ...

pour f de classe c 1 oui théorème de dérivation terme à terme en vérifiant que les hypothèses sont là.

pour g en dérivant par rapport à y sous le signe intégral ( à justifier)

et ensuite en faisant une intégration par parties [ le u exp(-u^2) devant être intégré] on trouve g'(y) = -y/2 g(y) sauf erreur.

pis aprés on trouve g

pour les coeff de fourier de f
pour p dans Z
c(p) = 1/2pi intégrale de 0 à pi f(x) exp(-ipx) dx

on permute intégrale et sigma ( à justifier ) on fait un changement de variables translation u = x -2npi et là miracle on trouve grâce à la relation chasles

c(p) = 1/2pi g(p)

technique très semblable à celle utilisée dans la formule sommatoire de poisson

lien entre transformée de fourier et série de fourier de la périodicisée

[surf-555]

oui exact bien joué !!
merci beaucoup.