Intégrale de tan^n(x)

par **sqrt2** » 28 Nov 2011, 17:08

Bonjour bonjour!
Alors voilà, je suis bloqué à un moment donné dans un dm où je dois prouver que la suite (Jn)(n entier naturel) de terme général Jn= intégrale de tan^n(t) de 0 à Pi/4 converge, et je dois préciser sa limite.
J'ai pensé calculer Jn à l'aide d'un changement de variable u=tan(t) puis de regarder la limite de ce terme en l'infini, mais je me retrouve avec l'intégrale de 0 à 1 de u^n/(1+u²), dont je ne sais pas trop quoi faire... :doh: Si quelqu'un a une idée, je suis preneur ! Merci d'avance

par **Bony** » 28 Nov 2011, 17:15

Peut être montrer que Jn est décroissante et minorée?

par **sqrt2** » 28 Nov 2011, 17:36

La minoration de Jn par 0 est évidente mais pour ce qui est de trouver le signe de Jn+1-Jn... je sèche :(

par **Skullkid** » 28 Nov 2011, 17:40

Salut, l'intégration conserve les inégalités.

par **sqrt2** » 28 Nov 2011, 17:49

ah oui ! sur [0,pi/4], tan(t)<1(ou égale) ... d'où l'inégalité :we: et la convergence de Jn ^^ Mais pour ce qui est de sa limite, il faut tout de même calculer l'intégrale ?

par **Skullkid** » 28 Nov 2011, 17:52

Si on voulait te faire calculer l'intégrale, on t'aurait demandé de calculer l'intégrale. On te demande juste la limite. Déjà, à ton avis, ça va converger vers quoi ? Ensuite essaye de le montrer, y a plusieurs façons d'y arriver.

par **Pythales** » 28 Nov 2011, 18:59

Sur

,

par **Bony** » 28 Nov 2011, 19:29

tu peux soit chercher une relation de récurrence entre Jn et J(n+1) soit raisonner par convergence dominée

par **sqrt2** » 28 Nov 2011, 20:31

En utilisant la majoration proposée par Pythales, ( qui vient du fait que sur [0,pi/4], sin(x)<(2*x)/Pi ?), je compose n-1 fois et j'obtiens tan^n(x)<(4*x/Pi)^n. En passant aux intégrales, j'ai Jn< (Pi/4)/n+1, et d'après le th. de l'encadrement, Jn->0 quand n-> l'infini. Raisonnement juste ? :hein:

par **Skullkid** » 28 Nov 2011, 20:43

C'est juste, l'inégalité vient du fait que tan est convexe sur [0,pi/4], donc la courbe est en dessous de sa corde. Tu peux démontrer l'inégalité en étudiant la fonction x -> tan(x) - 4x/pi.

Si cette inégalité (toujours bonne à connaître) n'est pas dans ton cours et que tu la trouves parachutée, tu peux faire comme Bony te l'a conseillé et chercher une relation de récurrence sur J (ce ne sera pas entre Jn et J(n-1) par contre) dans laquelle tu pourras faire tendre n vers l'infini.

par **sqrt2** » 28 Nov 2011, 20:59

C'est vrai que ce genre de relation est bien utile... je vais aussi essayer de retrouver cela par une relation de récurrence, en tout cas merci à tous pour l'aide et les conseils apportés ! :lol3:

Intégrale de tan^n(x)

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