Intégrale du sinus cardinal...

[Als128]

Bonjour à tous,
toujours dans ma (recon)quête des mathématiques après la prépa, j'ai un petit problème avec le calcul d'une intégrale...

Voilà c'est un exercice en 4 question et je bloque sur la dernière.
On pose avec

Les 3 premières questions sont du cours et du calcul pour démontrer

et la je bloque sur la dernière :

On définit la suite par Montrer que tend vers uniformément quand n tnd vers . En déduire la valeur de

Même si je me doute que le resultat de l'intégrale du sin cardinal sera , je vois pas bien comment partir pour démontrer la convergence uniforme

[ffpower]

Bonjour.Je n ai pas fait les calculs,mais je pense qu on doit pouvoir s en sortir en faisant une integration par partie.On primitive le sinus cardinal,on derive l exponentielle,ce qui va sortir un t devant l integrale,et apres on sépare les cas t petit et t grand. Tout ceci est a vérifier bien sur..

[alavacommejetepousse]

bonjour uniformément sur quoi? R+? ou [a,+infini[ a>0 ?

[ffpower]

R+ a mon avis,sinon je vois pas comment on pourrait conclure apres

[Als128]

Alors je vous assure que l'énoncé ne précise rien de plus... (c'est la copie exacte de la 4ème question)
Quand à la solution proposée par le livre, elle est incompréhensible car succinte et mal expliquée : elle propose d'appliquer le lemme d'Abel avec les fonctions et . Pour avoir regardé sur wiki, j'arrive pas à trouver une application du lemme d'Abel dans un cas autre que les series entières...

Bref, je nage complet et je suis ravir de vous avoir pour m'aider :we:

[Joker62]

Haileau ;)

Le critère d'Abel pour les intégrales généralisée sur un domaine de la forme [a;+;)[ assure que si on a une intégrande de la forme f(x)g(x) avec f décroissante positive qui tend vers 0 et que l'intégrale de g sur tout intervalle de la forme [a;k] existe et est bornée alors l'intégrale initiale converge.

Ici pour montrer la convergence uniforme sur le domaine en question ( je ne me prononce pas sur ça :D) fait la différence des deux, tu vas te retrouver avec une intégrale sur [n;+;)[ et la le lemme d'Abel peut s'appliquer.

Maintenant reste à prouver que ça tend vers 0.

[Als128]

C'est bon !!!
Merci beaucoup... En fait mon cours est trop mal agencé, c'est incompréhensible pour quelqu'un qui reprend ses études.. En plus, les fasicules sont modernes, l'impression date de 1989...


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