Intégrale multiple

[morlock84]

Bonsoir, j'ai une question potentiellement stupide, comment faire pour démontrer que (norme euclidienne) est intégrable ou non sur le boule unité de , ou plus généralement ? En dimension 2 on effectue un changement de coordonnées polaires, mais comment faire en dimension supérieure ?

Merci d'avance

[DamX]

Bonsoir, j'ai une question potentiellement stupide, comment faire pour démontrer que (norme euclidienne) est intégrable ou non sur le boule unité de , ou plus généralement ? En dimension 2 on effectue un changement de coordonnées polaires, mais comment faire en dimension supérieure ?

Merci d'avance

Bonsoir,

tu procèdes pareil qu'en dimension 2. Ta fonction est isotrope donc tu passes en coordonnées sphériques. Pas besoin de s'embêter avec le fatras complet, tout ce qui compte c'est que comme f ne dépend que de la norme, elle est constante sur toute "sphère", de rayon r, et de surface 4pi.r² (que tu dois connaître). L'élément d'intégration (le volume infinitésimal entre r et r+dr) est donc 4pi.r²dr.

Ainsi l'intégrale tu cherches est en fait :


Je l'ai fait à la "physicienne" pour l'élément d'intégration, mais tu peux l'écrire proprement dans le système sphérique et intégrer d'abord sur phi et theta pour voir que tu retrouves bien la même chose.

De même dans des dimension supérieure n>=2, tu sais que le volume d'une boule est proportionnel à r^n, et que la surface d'une sphère est proportionnelle à r^(n-1). Ainsi de la même façon tu auras un élément d'intégration en C.r^(n-1)dr, et donc l'intégrale convergera :


où Cn est la surface de la sphère unité en dimension n (voir http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_sphere pour les 10 premières dimensions, mon Cn correspond à leur An dans le tableau).

Damien