Inégalité ln

[akala]

Bonjour à tous!

Je n'arrive pas à montrer cette inégalité:
n un entier naturel et xn des réels.

racine nième de (x1*x2*...xn) <= (x1+...+xn)/n


Alors voilà, je suis passée par le log népérien:

ln(racine nième de (x1*x2*...xn)) = (ln(x1)+...+ln(xn))/n
et ln ((x1+...+xn)/n)= ln(x1+...+xn)-ln(n)

Mais après...comment montrer que (ln(x1)+...+ln(xn))/n <= ln(x1+...+xn)-ln(n) ?

Merci

[Nightmare]

Salut,

cela découle de la concavité du logarithme !

[akala]

Oui on a dit qqch comme ca mais...c'est justement ca que je n'ai pas compris (absence pdt ce cours).

Merci Nightmare.

[SlowBrain]

Comment exprimes-tu que la fonction ln est concave (ou bien, pour appliquer directement le cours, que -ln est convexe) pour x1,x2,...,xn pondérés chacun par 1/n? que cela donne-t-il après avoir exploité les propriétés du log? Notons bien que les xn sont tous >0 (si l'un d'eux est nul, l'inégalité est évidente)