Inégalité

[Anonyme]

Bonsoir !
Je suis coincée sur cette question :

Montrer que : [somme (de k=n +1 à +inf) 1/k! ]=< [1/(n+1)!].[somme (de k=0 à +inf) 1/(2^k)]


Je pensais à une récurrence, mais je ne vois pas sur quel rang raisonner (le +inf m'embete). Sinon poser une suite d'inégalités et par simplification obtenir le résultat ?

Merci de vos conseils.

[yos]

Bonsoir.

Dans le premier membre, tu mets 1/(n+1)! en facteur (c'est la moindre des choses!).
Tu auras dans la parenthèse :
1+1/(n+2)+1/[(n+2)(n+3)]+...
et tu majore le 2ème terme par 1/2, le troisième par 1/(2X2), etc. C'est fini.

J'imagine la suite de l'exo : la somme géométrique vaut 2; tu retires 1/(n+1)! de chaque côté, et tu trouves que la somme des inverses des k! pour k>n+1 est majorée par 1/(n+1)!

[Anonyme]

Majorer le 2ème terme ? c'est-à-dire :
1/(n+2) =< 1/2
1/(n+2)(n+3) =< 1/4 etc. ?

Pour info, la suite de l'exo est de montrer que somme (de k=0 à n) Arrangement de k parmi n est l'entier le plus proche de e.n! pour n>=2.
Merci.

[yos]

1/(n+2) =< 1/2
1/(n+2)(n+3) =< 1/4

C'est bien ça. ces inégalités sont évidentes vue la décroissance de x ---> 1/x sur ]0,+oo[.

La suite consiste à encadrer la somme des An,k en utilisant le résultat qui précède ou plutôt sa conséquence que j'avais indiqué dans le message précédent.

[hans]

Si tu veux faire l'exercice 2 il te faudra utiliser

l'égalité suivante : Ck(n+1)*Cik=C(k-i)(n+1-i)*Ci(n+1)

ou Ckn est le coefficient binomial.