pourriez vous vérifier les réponses que j'ai deja trouvé et me donner des indications pour les 4 5 et 6. Merci
on se propose de chercher les fonctions f de N ds N telles que:
pour tout x,y ds N, f(x+y) pour tout x,y ds N, f(xy) >ou= f(x) f(y)
1. Quelles sont les fonctions constantes qui conviennent?
Réponse: f(x) = 0 et f(x) = 1
2. Parmi les fonction suivantes, quelles sont celles qui conviennent :
a. f = id(N) j'ai mis oui
b. f(x) = x² j'ai mis non
c. f(x) = 0 si 3|x et 1 sinon je trouve pas
On note f une fonction qui convient et ne s'annule pas sur N/{0}
3. Montrer que f(0) = 0 ou que f(0) = 1. Que dire de f(1)?
Réponse: comme f(x) = 0 et f(x) = 1 conviennent alors pour x=0 ou x=1 on a le résultat
4.On suppose que f(0)=1. Montrer que f est constante
5.On suppose désormais que f n'est pas constante. Montrer que f(0)=0 et f(1)=1 puis que pour tout n ds N, f(n) <= n
6. Montrer que pour tout p ds N/{0} et tout n ds N, f(p^n) >ou= f(p)^n
si f=k est une fonction entière constante, l'inégalité (2) entraine:
d'où k=0 ou k=1
question 2.c: f convient. Il suffit de regarder si est stable par addition et produit (réponse oui) . Quid de son complémentaire ? (les entiers relatifs non multiples de 3). ça fait donc trois cas à envisager.
Question3: on particularise l'inégalité 2 avec x=y=0 puis x=y=1. d'où f(0)=0 ou 1. f(1)=0 ou 1.
Question 4 donner une valeur particulière à x.
Question 5 et 6 faire x=y. Démontrer les inégalité par récurrence.
pour la question 4. avec les indications que vous n'avez donné, j'ai fait :
Pour x=0, f(0) >ou= f(0) f(y).
Or f(0) = 1 donc f(y) pour la 5. est ce que je peux utiliser la contraposée de la question précédente ?
On a montrer à la question 4 que si f(0)=1 alors f est constante. Donc si f n'est pas constante alors f(0) différent de 1. Or f(0) est soit égal à 0 ou 1 d'après la question 3 donc f(0) = 0.
Pour la récureence c ok
chtirico a écrit:pour la question 4. avec les indications que vous n'avez donné, j'ai fait : Pour x=0, f(0) >ou= f(0) f(y). Or f(0) = 1 donc f(y) <ou= 1. Comme f est à valeur dans N alors f(y) = 0 ou f(y) = 1 donc f est constante.
l'idée est là. Il faut soigner la rédaction. Quelles sont les hypothèses ? pourquoi aboutit on à cette conclusion ? une fonction qui vaut "0 ou 1" n'est pas nécéssairement constante.
il faut que j'arrive à éliminer un des deux résultats soit f(y) = 0 soit f(y) = 1 et alors là j'aurais prouvé que f est bien constante, c'est bien ça ?
Donc on sait que f ne s'annule pas sur N/{0} donc pour tout y ds N/{0}, f(y) différent de 0. Comme f(y) est soit égale à 0 soit égale à 1, on en déduit que
pour tout y ds N/{0}, f(y) = 1. De plus on sait que f(0) = 1 par hypothèse, donc f est constante sur N.
Voici la suite du problème. On est ds le cas particulier où f est croissante. On note f une fonction croissante, non constante, qui convient et telle que pour tout x,y ds N, f(xy) = f(x) f(y)
1. On note p un entier naturel non nul
1a. Montrer que pour tout n non nul, il existe un unique naturel k tel que
2^k Quand on me pose ce genre de question, est ce que je dois supposer qu'il en existe en deuxième et montrer que c'est impossible? Faut-il exprimer k en fonction de n ?
chtirico a écrit:1a. Montrer que pour tout n non nul, il existe un unique naturel k tel que 2^k <ou= p^n <ou= 2^(k+1) Faut-il exprimer k en fonction de n ?
1b. Ensuite on me demande la limite en +inf de k/n donc là sauf erreur je trouve ln(p)/ln(2)
1c. Il faut montrer que: k ln(f(2)) <ou= n ln(f(p)) <ou= (k+1) ln(f(2)) Donc ca aussi j'ai réussi en utilisant f croissante
2. En déduire que pour tout p, f(p) = p^z avec z = ln(f(2)) / ln(2).
Bonjour, Voila j'ai réussi la question 2.
3. Montrer que nécessairement z = 0 ou z = 1 Pour cette question, j'ai une idée : je pense qu'il faut monter que soit f(2)=1 ou f(2)=2. Pourriez-vous me donner une indication. Merci
