Inégalité

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 19:51

Bonjour !
Je dois prouver que

Merci de votre aide

par **Le_chat** » 21 Aoû 2012, 20:07

En 0 ça marche pas.

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 20:19

Désolé c'est

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:29

nikoulou a écrit:Désolé c'est

Bonjour,
En deux étapes : Sur R+, on enlève la valeur absolue du premier membre en prenant l'opposée. Les deux membres ont "même image" en 0, à savoir 0, et la dérivée du premier membre est inférieure en tout point à la dérivée de la fonction du deuxième membre.

Même principe sur R- : image en 0 et comparaison des dérivées.

par **barbu23** » 21 Aoû 2012, 20:33

Salut :
Tu appliques l'inégalité de ... Lagrange ( je ne me souviens pas comment elle s'appelle ) qui dit que :

avec :

Il y'a une généralisation de cette inégalités à l'ordre

.

Edit : regarde ici :
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/analyse2/apprendre/etudeglobale/taf/3_2.htm

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 20:34

Vivement que je comprenne tout ce que tu dis barbu23 :)
Mais je ne suis qu'un simple élève de terminale qui révise et tout cela m'est (pour le moment) inconnu
Sinon je te remercie acoustica car ta technique n'a pas l'air trop dure, je vais essayer :)

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 20:38

Et pourrais tu plus détailler acoustica s'il te plait je ne saisis pas super bien :)

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:50

nikoulou a écrit:Et pourrais tu plus détailler acoustica s'il te plait je ne saisis pas super bien

Vivi. =)
On cherche à le faire en deux étapes : sur R+ et sur R-, afin de travailler dans valeurs absolues.
L'idée (par exemple sur R+), est que si les deux courbes partent du même point mais que l'une a un coefficient directeur plus grand que l'autre en tout point, alors elle est au-dessus. En gros, si elles partent du même point et que l'une va grandit toujours plus vite que l'autre, elle est au-dessus.
Sinon, tu fais juste une étude de fonction, ça marche aussi bien.

L'avantage de cette fonction est que le changement de signe du premier terme coïncide exactement avec le changement de signe de x. C'est pratique. Sinon il faudrait l'étudier sur trois morceaux.

Je te propose de réécrire cette inégalité en deux inégalités : une sur R+ et une sur R-. :lol3:

par **barbu23** » 21 Aoû 2012, 20:50

Je pense qu'il voulait te faire remarquer que pour montrer ton inégalité, cela revient au même que de montrer que

:

, parce que :

, et

.
Cela revient au même que de montrer que :

Donc, tu montres égalité par égalité.
Par exemple, pour la première égalité :

, tu poses :

, et tu fais une étude de cette fonction à l'aide des dérivées successives pour montrer que

. :happy3:

Edit : Est ce qu'on dit " cela revient au même de montrer" ou bien " cela revient au même que de montrer" ? :mur:

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 20:56

Comment pourrait-on poser ça niveau terminale, parce que je ne pense pas qu'il faille aller chercher dans des théorèmes comme celui de Lagrange (qui m'a l'air de parfaitement correspondre pour démontrer cette inégalité, mais qui n'est pas de mon niveau) ?? Me trompe-je?
barbu23, avec ta technique les valeurs absolues disparaissent, comment fais-t'on après?
Edit : l'étude de fonction que tu proposes acoustica me semble le moyen le plus "à la portée d'un terminale" non?

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 20:58

nikoulou a écrit:Comment pourrait-on poser ça niveau terminale, parce que je ne pense pas qu'il faille aller chercher dans des théorèmes comme celui de Lagrange (qui m'a l'air de parfaitement correspondre pour démontrer cette inégalité, mais qui n'est pas de mon niveau) ?? Me trompe-je?
barbu23, avec ta technique les valeurs absolues disparaissent, comment fais-t'on après?

Pas besoin de Lagrange ici. Ca va plus vite, c'est pratique dans ce cas-là mais si tu ne l'as pas vu, tu peux t'en sortir autrement. =) Barbu23 te proposait ensuite la même chose je crois, c'est-à-dire deux études de fonctions. Il faut d'abord réécrire ça sous formes de deux inégalités : une sur R+, une sur R-. D'ailleurs Taylor-Lagrange n'y coupe pas, puisqu'en prenant la valeur absolue, on perd la dérivabilité en 0, puisque la fonction du membre de droite passe sous l'axe des abscisses et qu'on la ramène au-dessus. Donc Taylor-Lagrange n'échappe pas à une étude en deux fois. Ici, on a la chance de se débarasser des valeurs absolues de x et de la fonction du premier membre en même temps. Autrement il faudrait couper en trois : une première fois pour |x|, une deuxième fois pour la valeur absolue globale. Donc trois études de fonctions.

Commence par réécrire tes deux inégalités.... si tu as un problème, dis-le...

par **barbu23** » 21 Aoû 2012, 21:00

nikoulou a écrit:Comment pourrait-on poser ça niveau terminale, parce que je ne pense pas qu'il faille aller chercher dans des théorèmes comme celui de Lagrange (qui m'a l'air de parfaitement correspondre pour démontrer cette inégalité, mais qui n'est pas de mon niveau) ?? Me trompe-je?
barbu23, avec ta technique les valeurs absolues disparaissent, comment fais-t'on après?
Edit : l'étude de fonction que tu proposes acoustica me semble le moyen le plus "à la portée d'un terminale" non?

Attend, je reviens dans 15 minutes, j'ai un petit boulot très très très urgent, sinon c'est la fin du monde ( je ne sais pas ce qui m'attend après :lol3: )

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 21:02

barbu23 a écrit:Attend, je reviens dans 15 minutes, j'ai un petit boulot très très très urgent, sinon c'est la fin du monde ( je ne sais pas ce qui m'attend après :lol3: )

Barbu23 a une envie pressante, Barbu23 a une envie pressante, Barbu23 a une envie pressante !

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 21:04

Je suis vraiment bloqué là... Vraiment je vois pas comment faire...

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 21:07

Attends, j'avais dis pas mal de bêtises, je reprends (ça y est, là c'est bon je crois^^)

Sur R+ :

. Etude de fonction : quelle est la dérivée de

?

Sur R- :

. Etude de fonction : quelle est la dérivée de

?

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 21:11

Ok, et le truc c'est que si on prouve que

est toujours négatif (ou nul pour x=0), on peut écrire

par **Le_chat** » 21 Aoû 2012, 21:13

Juste pour signaler que ça revient à montrer que pour tout x positif, 1-1/sqrt(1+x)<=x/2.

Car 1/sqrt(1+|x|) est toujours plus petit que 1, et que ici tu regardes ce qu'il se passe pour une valeur absolue, toujours positive.

Et ceci se montre par exemple en dérivant l'application x->1/sqrt(1+x)+x/2-1, pour montrer qu'elle décroit sur R+, puis enfin qu'elle est négative!

par **acoustica** » 21 Aoû 2012, 21:14

nikoulou a écrit:Ok, et le truc c'est que si on prouve que est toujours négatif (ou nul pour x=0), on peut écrire

Oui oui, le dénominateur est toujours plus grand que 1 à cause de |x| donc ça va donner toujours un truc négatif.

J'ai modifié plusieurs fois mon message au-dessus, j'étais pas très au clair, désolé pour tous les changements. ;-)

Tape "1/sqrt(1+abs(x))-1" sur google, tu auras l'allure de la fonction...

NB : pour dériver

, écrit :

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 21:16

acoustica a écrit:Attends, j'avais dis pas mal de bêtises, je reprends (ça y est, là c'est bon je crois^^)

Sur R+ : . Etude de fonction : quelle est la dérivée de ?

Sur R- : .

Donc reprenons, on disait la dérivée de

est

par **nikoulou** » 21 Aoû 2012, 21:18

Et la dérivée de

est

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