Inégalité et sinus

[Jeanfontanieur]

Bonjour, afin de bosser un peu pendant les vacances pour ne pas perdre le fil, je fais des exos de maths, or une question me pose un peu problème :

Si quelqu'un pouvait me lancer là dessus !! :we:
Merci à tous :happy2:

Edit: C'est

[Skullkid]

Bonjour, afin d'obtenir cette inégalité, par quoi aimerais-tu majorer |sin(n) + (-1)^n cos(n)| ?

[Jeanfontanieur]

Bonjour, afin d'obtenir cette inégalité, par quoi aimerais-tu majorer |sin(n) + (-1)^n cos(n)| ?

J'ai pensé tout d'abord à dire que :

puis que
ensuite
enfin
donc que
Je ne sais pas si je suis bien lancé

[MacManus]

J'ai pensé tout d'abord à dire que :

puis que
ensuite
enfin
donc que
Je ne sais pas si je suis bien lancé

Bonjour,

On a l'inégalité suivante : puisque , d'où

[Jeanfontanieur]

Bonjour,

On a l'inégalité suivante : puisque , d'où

Je n'avais pas vu les choses comme ça, mais ça revient au même ou ma technique est erronée ?
Comment prouver pour la suite ? Pour le

[MacManus]

Je n'avais pas vu les choses comme ça, mais ça revient au même ou ma technique est erronée ?

Ce que tu écris n'est pas faux en soi, mais on te demande de majorer la valeur absolue. J'ai juste utilisé la propriété de l'inégalité triangulaire : ,

Comment prouver pour la suite ? Pour le

et par quoi peut-on majorer ?

[acoustica]

Je n'avais pas vu les choses comme ça, mais ça revient au même ou ma technique est erronée ?
Comment prouver pour la suite ? Pour le

Je te propose de reprendre ce que disait MacManus, mais juste le début parce que majorer par 2, c'est trop grossier. Le dénominateur est en fait majoré par . Et si tu commençais par t'abstraire des entiers et raisonner sur R ? Plus précisément sur [0,pi/2]

On reprend donc à partir de la majoration par |sin(x)| + |cos(x)|. C'est vrai qu'on peut majorer par 2, mais ça ne va pas nous aider : on peut faire mieux. Sur [0,pi/2], tu peux retirer les valeurs absolues. Cette étude sur [0,pi/2] est suffisante (à justifier) pour avoir une majoration. Et là tu auras gagné. :we:

Edit : désolé MacManus, j'ai dis une bêtise, en fait elle marche la majoration par 2. Sorry for that. =)
Mais c'est dommage, l'exercice serait plus intéressant si cette majoration était insuffisante.

[MacManus]

Le dénominateur est en fait majoré par .

Tu majores une valeur absolue (sinon une fonction affine) par une constante ... ça n'a pas de sens, sauf pour un certain intervalle. Mais on veut une majoration pour tout n

[Jeanfontanieur]

Ce que tu écris n'est pas faux en soi, mais on te demande de majorer la valeur absolue. J'ai juste utilisé la propriété de l'inégalité triangulaire : ,

et par quoi peut-on majorer ?

Je pense que sur on peut le majorer par 1 (Edit: j'ai oublié de préciser que l'ensemble était )

[MacManus]

Je pense que sur on peut le majorer par 1

C'est vrai, mais pour le coup, je dirai que c'est trop grossier
pour tout entier naturel n de N*, on a 2n < 2n+1 donc .... ??

[acoustica]

Tu majores une valeur absolue (sinon une fonction affine) par une constante ...

Eh bien ? Je ne vois pas où est le problème. De plus, la fonction |sin(x)| + |cos(x)| est périodique de période pi/2, on peut donc la majorer sur [0,pi/2] et avoir une majoration globale.

Par ailleurs, la majoration "grossière" fonctionne bien ici. Mais il est plus intéressant d'avoir une majoration plus fine, à savoir. On pourrait même se poser la question de la majoration sur N. A t-on bien à un moment ? Pas sûr du tout, mais j'imagine qu'on peut s'en approcher arbitrairement. Là je ne sais pas comment faire.

[Jeanfontanieur]

C'est vrai, mais pour le coup, je dirai que c'est trop grossier
pour tout entier naturel n , on a 2n < 2n+1 donc .... ??

donc, (pour tout n de N*, cf mon edit)

[Jeanfontanieur]

Lui même inferieur à 1/n

[MacManus]

Lui même inferieur à 1/n

Au final, on a majoré par 2*(1/2n)

[Jeanfontanieur]

Au final, on a majoré par 2*(1/2n)

Je te remercie beaucoup j'ai tout compris !

[acoustica]

Tu majores une valeur absolue (sinon une fonction affine) par une constante ... ça n'a pas de sens, sauf pour un certain intervalle. Mais on veut une majoration pour tout n

Ca a tout-à-fait un sens, relis ce que j'ai écris.

[MacManus]

On ne parlait pas de la même chose, moi je parlais du dénominateur, mais tu pensais au numérateur.

[acoustica]

On ne parlait pas de la même chose, moi je parlais du dénominateur, mais tu pensais au numérateur.

Yes, exactly.

[MacManus]

@acoustica

En fait, tu peux montrer que sur l'intervalle , atteint son maximum en qui vaut . Mais ce qui veut dire que l'on ne se place plus dans N mais dans R.

[acoustica]

@acoustica

En fait, tu peux montrer que sur l'intervalle , atteint son maximum en qui vaut . Mais ce qui veut dire que l'on ne se place plus dans N mais dans R.

Oui désolé, j'avais dis mais c'est bien . Ce n'est pas un problème de se placer dans R : si on a une majoration dans R, on l'a a forciori dans N. C'est le contraire qui serait une erreur de raisonnement. On a parfaitement le droit de passer par R, faire une étude de fonction et en déduire une majoration. Le seul truc qu'on risque, c'est que ce passage à R nous fasse complètement louper la majoration puisqu'on a un espace de définition trop grand.