Inégalité et sinus

[Matt_01]

La majoration est en fait la même sur N.
L'important, c'est de connaître n modulo 2pi et de savoir s'il on peut s'approcher autant qu'on veut de pi/4 (là où est atteint le sup).
Mais, vu que 2pi est irrationnel, "on sait" que la suite des (n modulo 2pi) (qu'on note u_n) est équirépartie sur [0,2pi] (en gros la proportion d'éléments de cette suite (en l'infinie) compris dans un intervalle de taille i est de i/2pi).
Donc on a toujours des éléments entre pi/4 - eps et pi/4 + eps.
Pour montrer qu'elle est équirépartie il suffit de montrer que 1/n \sum_{k=0}^n e^{iu_k} tend vers 0. Mais comme ca vaut 1/n * (exp(i(n+1))-1)/(exp(i)-1), on voit bien que cette limite vaut 0.

[acoustica]

La majoration est en fait la même sur N.
L'important, c'est de connaître n modulo 2pi et de savoir s'il on peut s'approcher autant qu'on veut de pi/4 (là où est atteint le sup).
Mais, vu que 2pi est irrationnel, "on sait" que la suite des (n modulo 2pi) (qu'on note u_n) est équirépartie sur [0,2pi] (en gros la proportion d'éléments de cette suite (en l'infinie) compris dans un intervalle de taille i est de i/2pi).
Donc on a toujours des éléments entre pi/4 - eps et pi/4 + eps.
Pour montrer qu'elle est équirépartie il suffit de montrer que 1/n \sum_{k=0}^n e^{iu_k} tend vers 0. Mais comme ca vaut 1/n * (exp(i(n+1))-1)/(exp(i)-1), on voit bien que cette limite vaut 0.

Cool. =) Oui intuitivement on le sentait, mais restait l'argument.

[Matt_01]

Mais en fait on n'a pas besoin d'aussi puissant (là on a calculé la proportion, mais on a juste besoin de savoir qu'ils existent).
Pour cela il suffit de voir qu'on peut avoir u_n une suite d'entier qui converge vers 0 modulo 2pi. (On peut alors se ramener à une suite qui converge vers n'importe quoi modulo 2pi)
Si on considère eps = inf de "Z modulo 2pi" alors :
Donc il existe n tel que n=2kpi + e avec eps<=e<2eps.
Si on considère le plus petit a tel que aeps > 2pi alors on a :
soit aeps -2pi alors, en considérant an ou -(a-1)n modulo 2pi, on voit que l'on descend sous l'inf : l'inf vaut 0.

Maintenant, dés que n modulo 2pi < e', on peut faire des pas de e' en considérant les (an) pour a décrivant N.
Ainsi, on passe forcément à moins d'e' près de pi/4.