Inégalité jensen

par **maths699** » 23 Oct 2013, 10:31

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je n'ai strictement rien compris, on l'a commencé en cours mais même en relisant plusieurs fois je n'arrive toujours pas à comprendre:

En utilisant l'inégalité de Jensen, obtenir les inégalités suivantes :

1)exp(x1+...+xn / n) < 1/n(exp(x1)+...+exp(xn))

2)racine nieme(a1...an) < a1+...+an /n

3)n / 1/a1+...+1/an)< racnieme(a1...an)

la deuxième inégalité est l'inégalité entre la moyenne géométrique G(a1,..,an)=racnieme(a1...an)

et la moyenne arithmétique A(a1,...an)=a1+...+an /n

la troisième inégalité est l'inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne harmonique : H(a1...an)= n / 1/a1+...+1/an)< racnieme(a1...an)
voila on a fait les deux premières inégalités mais la troisième non, merci de votre aide

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 10:35

que donne l'inegalite de jensen avec des coeff de 1/n applique a la fonction convexe exp?

par **maths699** » 23 Oct 2013, 10:49

exp(ln(a1)+...+ln(an) / n) < 1/n(exp(ln(a1)+...+exp(ln(an))

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 11:39

donc avec f=exp et

et

par **maths699** » 23 Oct 2013, 11:43

oui je connais cette inégalité...

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 12:36

bah ca te donne exactement le 1/

par **maths699** » 23 Oct 2013, 12:47

oui mais la 1 et 2 j'ai mais pas la 3

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 12:50

si tu prends 2 et que tu remplaces

par

?

par **maths699** » 23 Oct 2013, 12:58

je ne comprends pas..

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 14:03

tu ne fais pas beaucoup d'efforts je pense
tu pars de 2/

tu remplaces

par

tu prends l'invers (decroisaance de l'inverse sur R+)

je te laisse finir le calcul

par **maths699** » 23 Oct 2013, 14:13

euh oui... mais on a jamais vu ça je n'aurai jamais trouvé ça tout seul

par **maths699** » 23 Oct 2013, 14:26

on multiplie par n après?

par **arnaud32** » 23 Oct 2013, 14:56

Inégalité jensen

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