Inégalité et espérance

[SuperPoule]

Bonjour,
j'ai réussi à répondre à toutes les questions de cet exercice, sauf la toute fin (conclure). J'arrive bien à démontrer l'égalité qu'on demande d'utiliser à la dernière question, mais je ne parviens pas à l'utiliser pour conclure. Pourriez-vous m'aider ?
Voici l'énoncé :
Soit et deux v.a. indépendantes de même loi telles que . Le but est de démontrer que :
. On notera la variable aléatoire qui vaut 1 si l'événement est réalisé et 0 sinon (c'est l'indicatrice de ).

1. Soit une v.a. de densité , telle que et qui admet une espérance. Montrer que , puis que [Fait]
2. Si est à densité, la variable est-elle à densité ? [Fait]
3. On admet dorénavant que les résultats de la première question sont également vrais lorsque n'est pas à densité. On note . Montrer que :
   [Fait]
4. Conclure. On pourra notamment utiliser l'égalité suivante :
   [Égalité démontrée, mais je n'arrive pas à conclure...]