Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

[biking]

Bonjour,

Je bloque un peu sur l'interprétation du résultat de cet exercice :

Benjamin, Aurélie et Anna ont prévu d'aller voir le film Jurassic World. Benjamin sait que pendant un film, il mange en moyenne 130 grammes de popcorn avec un variance de 9. Un paquet de popcorn vendu au cinéma pèse 145 grammes. Quel est l'énoncé le plus précis que l'on puisse dire concernant la probabilité qu'il restera du popcorn pour Aurélie et Anna ?

J'ai procédé ainsi :

Données :

µ = 130 σ = 3 puisque V(X)= 9


A partir de ça j'ai les conditions nécessaire pour appliquer l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/k2

On nous dit que le paquet pèse 145 gramme donc la valeur maximal est de 145 (borne supérieure).
Donc 145 = 130 + k.3 --> k = 5
Si on remplace k par 5 de l'autre coté on a 115 pour la borne inférieure.
X = variable aléatoire discrète représentant pour moi le nombre de gramme de popcorn consommé par Benjamin
Au final on arrive donc a :
P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1 −1/(5)2

P (µ − kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 0.96

J'interprète ca comme la probabilité que Benjamin ait consommé entre 115 et 145 grammes de pop corn est de 96% ou plus. Mais en quoi cela laisse-t-il présager qu'il y'aurait encore du Popcorn pour Aurélie et Anna ? La variable est comprise entre 115 et 145 avec les 2 valeurs comprises, et si on prend justement 145 gr il n'en restera plus pour les autres.

[zygomatique]

salut

je vois pas l’intérêt d'utiliser l'inégalité de B-T ...

la probabilité qu'il reste du pop-corn pour Aurélie et Anna est 1 - P(X >= 145) = P(X < 145)

[Ben314]

Salut,

la probabilité qu'il reste du pop-corn pour Aurélie et Anna est 1 - P(X >= 145) = P(X < 145)

Certes, certes, mais ne connaissant QUE la moyenne et l'écart type de la loi en question et rien de plus, tu peut m'expliquer comment tu fait pour calculer ou estimer p(X<145) autrement qu'avec Bienaymé-Tchebychev ?

Sinon, concernant le problème initial, si on veut comprendre pourquoi c'est bien ce que tu as calculé qu'il fallait calculer, il suffit de remplacer ton 145g par 144.9999g : tu obtient quasi la même valeur au final et ça te dit que la proba qu'il ait mangé entre 115.0001g et 144.9999g est de plus de 96% donc que la proba qu'il ait mangé le total, à savoir 145g est de moins de 4%.

[biking]

Merci vraiment top l'explication, j'ai parfaitement compris maintenant !
Au passage, je viens de remarquer qu'il y'avait 2 manière d'écrire l'inégalité :

(1) P(|Y − µ| < kσ) ≥ 1 − 1/k^2

(2) P(|Y − µ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2

Source : Mathematical Statistics with Applications

Dans (1) on voit que (Y-µ) est STRICTEMENT inférieur à (kσ) du coup pour l'exo ça correspond bien puisque ça sera strictement inférieur à 145 donc ça règle mon problème d’intercaler la valeur 145 dans l'intervalle en question.

[zygomatique]

oui effectivement ... j'ai pensé loi normale ....

mais en fait c'est la conclusion que je ne voyais pas ... ce que tu expliques bien ...