Indicatrice d'Euler

[Alpha]

Bonjour à tous!

En ce moment, nous travaillons sur l'arithmétique, et, dans le cours, la démonstration d'une propriété concernant la fonction indicatrice d'Euler m'a échappée.

Voici l'énoncé de cette propriété :

Soit, l'indicatrice d'Euler

( est définie ainsi : pour tout , = le nombre de générateurs de , ou encore, )

Alors .


(Mon professeur, dans le cours, prouve cette propriété comme étant corollaire du théorème suivant :

Soit G cyclique d'ordre n. Pour tout diviseur de , il existe un unique sous-groupe de G d'ordre .)


Cette propriété doit être simple à démontrer, mais j'ai du passer à côté de quelque chose. Pouvez-vous m'expliquer sa démonstration?


Merci d'avance pour votre aide. :happy3:

[Galt]

Je ne sais pas démontrer ce résultat comme ça, mais j'ai une autre idée :
Je classe les nombres inférieurs à n (de 1 à n) en fonction de leur pgcd avec n :
Si d est un diviseur de n, les nombres inférieurs à n dont le pgcd avec n est d sont des multiples de d, mais des multiples par un nombre compris entre 1 et , et premier avec (car sinon le pgcd va dépasser d)
Ainsi, il y a exactement nombres inférieurs à n, ayant d comme pgcd avec n.
On a donc , ce qui donne bien le bon résultat (la somme des indicateurs d'Euler pour tous les diviseurs de n )

[Alpha]

Merci, Galt, pour ta réponse,

mais je ne suis pas sûr d'avoir bien compris. En particulier, je ne comprends pas pourquoi ce que l'on a fait implique le résultat n=...

Il faudra certainement que je relise ça à tête reposée. Juste une indication : Pour démontrer le théorème précédant cette propriété, le professeur avait fait appel aux racines n-ièmes de l'unité.

En gros, il prend cyclique d'ordre , et ensuite, je ne sais pas quel miracle, il pose . Puis il remarque que pour tout divisant , inclus dans . Ensuite, il dit que pour tout sous-groupe d'ordre , inclus dans , et que , ce qui implique que .

Je comprends l'idée, et je comprends certaines étapes de cette démonstration, mais, par exemple, je suis assez inrterloqué quand il pose ...

Il est fort possible qu'en fait, en comprenant la démonstration de ce théorème, on puisse comprendre pourquoi .

Mais, pour l'instant, je dois avouer que je nage un peu.

Merci de votre aide.

[Galt]

Ce que j'ai fait donne n puisque tous les nombres de 1 à n ont été comptés exactement une fois :
Il y a nombre dont le pgcd avec n est n
Il y a nombre dont le pgcd avec n est (si 2 divise n )
...
Pour tout diviseur d de n , il y a nombres dont le pgcd avec n est
...
Il y a nombres dont le pgcd avec n est

L'explication du miracle : tous les groupes cycliques sont isomorphes, puisqu'on peut les écrire G={ où a est un générateur quelconque, ce qui est bien la forme du groupe des racines nièmes de l'unité (de générateur )

[Alpha]

Merci, Galt, tout commence à s'éclaircir!

Je reviendrai pour dire si j'ai tout compris.

Cordialement