Homographie et birapport

[pau]

Bonjour,
J'ai essayé de faire un exercice d'analyse complexe sur les homographies et les birapport, mais je ne comprends absolument rien, pouvez-vous m'éclairer, s'il vous plait?
L'exercice est le suivant:

Soit(z1,z2,z3)un triplet de points distincts deCU{infini}.
Pour z appartenant à C\{z1,z2,z3}, on note [z,z1,z2,z3] le birapport de (z,z1,z2,z3) défini par :

((z-z2)/(z-z3))/((z1-z2)/(z1-z3)) si z1,z2,z3 appartiennent à C
(z-z2)/(z-z3) si z1=infini
(z1-z3)/(z-z3) si z2=infini
(z-z2)/(z1-z2) si z3=infini

1. Montrer qu'il existe une unique homographie phi0 sur CU{infini} vérifiant phi0(z1)=1,phi0(z2)=0 et phi0(z3)=, puis que phi0(z)=[z,z1,z2,z3]=[phi0(z),1,0,infini].
2.Soit (w1,w2,w3) un second triplet de points distincts de CU{infini}.
Montrer qu'il existe une unique homographie phi telle que: pour tout kappartenant à{1,2,3},phi(zk)=wk.
3.En déduire que le groupe des homographies agit transitivement sur l'ensemble "cercles-droites" de CU{infini}.
4.Montrer que pour toute homographie psi et pour tout z appartenant à CU{infini},[psi(z),psi(z1),psi(z2),psi(z3)]=[z,z1,z2,z3]
5. En déduire comment la condition de cocyclicité ou d'alignement de 4 points a,b,c,d de C se traduit sur le birapport [a,b,c,d]. Retrouver le théoreme de l'angle inscrit à partir du résultat obtenu.
6.Quel est l'effet d'une permutation de 4 points a,b,c,d sur leur birapport [a,b,c,d]?
7. Déterminer rapidement une homographie transformant le cercle de centre 0 et de rayon 1 en la droite y=x, puis les déterminer toutes.


Pouvez-vous me donner quelques indications, je ne vois pas du tout comment partir et comment raisonner
Merci beaucoup

[Pythales]

Pour démarrer :
avec :



d'où et ...

[pau]

merci beaucoup, j'avais trouvé (az+b)/(cz+d) et du coup j'avais un probleme pour trouver les coefficients.

j'ai trouvé phi et je pense que mon expression est correcte car ça marche dans la suite de la question.
Par contre je ne vois comment montrer que [z,z1,z2,z3]=[phi0(z),1,0,infini].

Pour la 2e question, faut-il que je montre que zk=wk? ou alors que je trouve une autre homographie, je ne vois pas trop comment faire

[Pythales]

Si tu as montré que , comme pour on a , alors

[pau]

Merci beaucoup
J'ai à peu pres réussi à avancer jusqu'à la question 5, où je bloque à nouveau.
Je ne vois pas trop quelle déduction je peux faire

[Pythales]

Si représentent les points pense que représente et que a pour argument l'angle . Plus généralement, le rapport de 2 nombres complexes à pour argument la différence de leurs arguments.

[pau]

Ok, donc il faudrait que leur birapport soit réel.
Quel est le rapport avec le théoreme de l'angle inscrit dans ce cas?
Pour la question 6, intuitivement je dirais que la permutation des points permute leur image dans leur birapport?

[Pythales]

Si le birapport est réel négatif, alors

[pau]

Il faut que le birapport soit réel positif alors? Ou bien c'est pour le théoreme de l'angle inscrit?

[Pythales]

Je pense que le théorème qui est évoqué est la condition pour que 4 points soient cocycliques, c.a.d à près