Géométrie synthétique : volumes et aires de solides

[srhmrc]

Bonjour, je ne comprends pas comment résoudre cet exercice :
Calcule le volume et la surface totale engendrés par un hexagone régulier tournant autour d'un axe passant par un de ses sommets et tangent au cercle circonscrit à l'hexagone en fonction du rayon r du cercle circonscrit.

[lyceen95]

Il faut effectivement faire un effort de concentration pour 'visualiser' le mouvement.
On nous parle d'un hexagone régulier. C'est clair, pas d'ambiguité.

On va faire tourner cet hexagone autour d'un axe. Tourner autour d'un axe, ok.
Mais quel axe ?
Un axe qui passe par un des sommets, Ok
Et quelle est la direction de cet axe ?
L'axe est tangent au cercle circonscrit à l'hexagone. Si ton connais la notion de cercle circonscrit, normalement, c'est clair. Sinon, il faut chercher la définition de ce mot 'cercle circonscrit'.

Et on nous dit au passage que ce cercle circonscrit a pour rayon , ce qui nous donne l'information qui nous manquait pour la taille de l'hexagone.

Et surtout, pour comprendre, la recette incontournable, c'est de faire un dessin. Toujours faire un dessin quand on est perdu.

[srhmrc]

Bonjour, j'obtiens pour la surface et pour le volume. Je n'ai pas la même réponse que dans mon cours, mais je ne vois pas mon erreur. J'ai trouvé qu'il fallait calculer la surface et le volume de 2 cônes tronqués de grand rayon 2r, de petit rayon r et de hauteur moins 2 cônes de rayon r/2, de même hauteur et de génératrice r.

[Ben314]

Salut,
Il y a bien sûr moyen de faire sans, mais il y a les formules de Guldin qui donnent immédiatement les résultats (et qui ne sont pas bien compliqué à démontrer).
Sauf erreur, ça donne et .
Sinon, sans les formules de Guldin, on peut effectivement s'en sortir en utilisant des portions de cône en faisant attention au fait que, pour la surface, il y a deux portions "plates" correspondant à des couronnes (=disque privé d'un disque concentrique plus petit)

[srhmrc]

Bonjour, je n'obtiens pas les mêmes réponses en utilisant les portions de cône. Je ne vois pas ou est mon erreur.

[catamat]

Bonjour

2 cônes tronqués de grand rayon 2r, de petit rayon r

Je pense que l'erreur vient de là le petit rayon est r+0,5r soit 1,5r

Je tombe bien sur le résultat donné par la formule de Guldin

[srhmrc]

Bonjour, c'est bien ca, merci beaucoup !