Geometrie synthetique

[natikozlo]

On considère un tétraèdre régulier PQRS de l’espace euclidien, et un plan (pi) passant par les points P et Q.
Déterminez l’angle alpha entre le plan (pi) et la base P QR du tétraèdre sachant que ce plan divise le tétraèdre en deux parties de même volume.

Quelqu'un sait comment commencer à résoudre ça ?

[pascal16]

Bonjour....

oui, quelqu'un sait

[aviateur]

Bonjour
Je ne connais pas le terme "géométrie synthétique". Merci d'avance à celui qui peut me dire
ce que cela signifie.

[MJoe]

Bonjour,

La géométrie synthétique c'est lorsque le problème de géométrie n'est pas "coton".

Plus sérieusement, j'ai trouvé cela :
La géométrie synthétique ou géométrie pure est fondée sur une approche axiomatique (donc, « purement logique ») de la géométrie. Elle constitue une branche de la géométrie étudiant diverses propriétés et divers théorèmes uniquement par des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions. Elle s'oppose à la géométrie analytique et refuse systématiquement l'utilisation des propriétés analytiques des figures ou l'appel aux coordonnées. Ses concepts principaux sont l'intersection, les transformations y compris par polaires réciproques, la logique. Un outil très puissant qu'elle utilise est la théorie des ensembles, par le biais des propriétés structurelles (groupe, groupe commutatif, etc.) de tel ou tel ensemble de transformations.

Source ici.

MJoe.

[aviateur]

Rebonjour Merci M. Joe pour l'information.

[MJoe]

Bonjour,

Vu qu'il ne faut pas avoir une approche analytique, ne faudrait-il pas considérer le fait qu'un tétraèdre régulier est inscrit dans un cube (où les longueurs des côtés du tétraèdre sont les diagonales des faces du cube) ?

A voir.



MJoe.

[MJoe]

Bonsoir à tous,

Je propose quelque chose :

Le plan (PI) passant par P et Q coupe le segment RS en M. On remarque alors que les tétraèdres PRMQ et PMSQ ont même hauteur. Pour que leurs volumes soient égaux il suffit donc que les triangles PRM et PMS aient les mêmes aires.
M est donc le milieu de [RS] et les deux triangles sont rectangles en M.

Il reste à calculer l'angle formé par le plan passant par P, Q et M (le plan PI) avec la base PRQ du tétraèdre.
On sait que la hauteur est égale à où est la longueur d'une arête.



D'où :

Si ce calcul est juste, on obtient : soit 29,26 degrés.

Remarque : utiliser l'Arctan() n'a rien de synthétique...

MJoe.

[Razes]

Les points P et Q appartiennent au plan (PI). Le tétraèdre est régulier (de cote ), donc le plan (PI) le coupe en deux parties de mème volume, du fait de la symétrie du tétraèdre régulier, donc coupe [R,S] en son milieu qu'on appellera M.



Soit N le milieu de [P,Q].

Prenons le triangle PNR qui rectangle en N: donc:

L'angle recherché correspond à celui entre le plan (PI) et le plan passant par les points P,Q,R. qui correspond à l'angle .



Donc : °

[MJoe]

Bonsoir à tous,

Je propose quelque chose :

Le plan (PI) passant par P et Q coupe le segment RS en M. On remarque alors que les tétraèdres PRMQ et PMSQ ont même hauteur. Pour que leurs volumes soient égaux il suffit donc que les triangles PRM et PMS aient les mêmes aires.
M est donc le milieu de [RS] et les deux triangles sont rectangles en M.

Il reste à calculer l'angle formé par le plan passant par P, Q et M (le plan PI) avec la base PRQ du tétraèdre.
On sait que la hauteur est égale à où est la longueur d'une arête.



D'où :

Si ce calcul est juste, on obtient : soit 29,26 degrés.

Remarque : utiliser l'Arctan() n'a rien de synthétique...

MJoe.

Mea Culpa, mon calcul est faux car j'ai considéré pour le calcul de au lieu de .

Et puis ma démarche n'a rien de "synthétique".

MJoe.