[MPSI] Geometrie dans l'espace

[Anonyme]

Bonjour,

À M(a,b,c) on associe le plan P_M:ax+by+cz-1=0.
Soient M'(a',b',c'), m le projeté orth de M sur P_M


1. Mq M \in P_M' ssi M' \in P_M.
2. Calculer le produit scalaire .
3. Soit D une droite ne contenant pas O.
Déterminer {P_M | M \in D}


La question 1 est évidente en remplaçant les coordonnées.
Pour la question 2, je calcule les coordonnées de m,
puis j'ai Om = (a,b,c)*1/(a²+b²+c²)
donc = 1
voire en longueurs Om.OM = 1


Je bloque à la question 3. Pouvez-vous me fournir une indication ?
Sur un dessin ça ressemble à un espace privé d'un ensemble de
paraboles.

Merci beaucoup.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit

> À M(a,b,c) on associe le plan P_M:ax+by+cz-1=0.
> Soient M'(a',b',c'), m le projeté orth de M sur P_M
>
>
> 1. Mq M \in P_M' ssi M' \in P_M.
> 2. Calculer le produit scalaire .
> 3. Soit D une droite ne contenant pas O.
> Déterminer {P_M | M \in D}
>
>
> La question 1 est évidente en remplaçant les coordonnées.
> Pour la question 2, je calcule les coordonnées de m,
> puis j'ai Om = (a,b,c)*1/(a²+b²+c²)
> donc = 1
> voire en longueurs Om.OM = 1
>
>
> Je bloque à la question 3. Pouvez-vous me fournir une indication ?
> Sur un dessin ça ressemble à un espace privé d'un ensemble de
> paraboles.

J'ai plutôt l'impression qu'il s'agit d'un faisceau de plans passant par
une droite perpendiculaire à D.
Quand M décrit D, m qui lui correspond dans une inversion de centre O,
décrit un cercle C passant par O et contenu dans la plan (O, D).
Comme P_M passe par m et est perpendiculaire à Om, il passe aussi par le
point O' diamétralement opposé à O dans le cercle C.
Chaque plan P_M contient donc la droite D' perpendiculaire au plan (O,D)
passant par O'.
Analytiquement, ça doit être un peu plus pénible...

Cordialement
Stéphane