On considère l'ellipse d'équation réduite
On cherche l'ensemble des points M qui vérifient la propriété
H = il existe deux tangentes orthogonales passant par M à l'ellipse.
1) Faire un joli dessin et trouver 4 points évidents
Il suffit de tracer le rectangle le plus évident qui encadre l'ellipse.
2) Soit M0(X,Y) et
Soit M D, il sécrit donc M0+tu, écrire la condition M E sous la forme dune équation de degré 2 en t.
On doit avoir
En simplifiant je trouve :
3)La droite D est tangente à lellipse ssi léquation précédente admet une solution unique. Ecrire une équation vérifiée par (X,Y,u1,u2) traduisant cette condition.
Le discriminant doit être nul. Je trouve (après simplification) :
4) Il y a deux tangentes orthogonales à lellipse passant par M0 ssi (X,Y,u1,u2) et (X,Y,-u2,u1) sont solutions de léquation précédente. (on peut aussi imposer )
En déduire une condition sur (X,Y) traduisant lhypothèse H.
J'obtiens donc ce système :
Mon raisonnement est le suivant : il existe un couple (u1,u2) vérifiant ce système à condition que le couple (X,Y) vérifie .... (une équation indépendante de u1 et u2). Mais je n'arrive pas à me débarrasser des u1 et des u2 dans l'équation, je ne sais pas comment raisonner.
Est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
En faisant un dessin je trouve que l'ensemble cherché est un cercle d'équation
Dois-je vraiment tomber là-dessus ?
J'ai même essayé en prenant pour cas particuler a=1 et b=1 et même là je n'arrive pas à franchir cette étape.
