DM géométrie analytique exo

[fabes]

Voila, je suis étudiant en prépa ATS, j'aimerai avoir de l'aide pour resoudre une question.

L'espace euclidien muni d'un repère orthonormé.

On considère maintenant deux droites par leurs équations:

(D) x-y-5=0
y+2z+1=0

(D') x+2y+z=2
3x+3y+2z=7

Sont elles parallèles?

je sais qu'il faut calculer le déterminant pour répondre.
Ce qui me déroute, ce sont les équations des droites dans l'espace, je sais pas quoi faire face à elles.

Si quelqu'un peut me donner une piste afin d'exploiter les équations merci d'avance.


Ps: Pour info au cas ou certains serait tenté de me dénigrer, quelques infos sur la prépa ats
c'est une classe préparatoire aux grandes écoles qui s'effectue en un an après un bts/dut
elle pour but de donner des bases solides dans les matières scientifiques afin d'intégrer les écoles
d'ingénieurs dans les meilleurs conditions.
on fait le programme de sup et de spé, du fait des différences de parcours, on début d'année on
remet tout à plat notamment en maths en début d'année.
j'ai un bac STI et un BTS et je n'ai pas fait de géométrie analytique contrairement à un bachelier S
donc voila lol je tenais a préciser lol.

[Black Jack]

Une façon parmi plein d'autres.

On détermine 1 point A de D, par exemple en imposant x = 0 et en résolvant le système résultant des équations de D avec x = 0.
On arrive à A(0 ; -5 ; 2)

On détermine un second point point B de D (par exemple en imposant y = 0 ) et ...
On arrive à B(5 ; 0; -3)

Un vecteur directeur de la droite D est (XB-XA ; YB-YA ; ZB-ZA) = (5-0 ; 0 -(-5) ; -3-(2)) = (5 ; 5 ; -5)

On procède de même avec la droite D' et on arrive par exemple à un vecteur directeur de la droite D' : (3 ; 3 ; -9)

Ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires --> D et D' ne sont pas parallèles.

Si les vecteurs directeurs des 2 droites étaient colinéaires, les droites seraient soit parallèles soit confondues.

:zen:

[Ben314]

Une autre méthode (utilisant les determinants) :

En fait, par définition,
La droite (D) est l'intersection du plan (P1) : x-y-5=0 et du plan (P2) : y+2z+1=0
La droite (D') est l'intersection du plan (P'1) : x+2y+z=2 et du plan (P'2) : 3x+3y+2z=7
Si (D) et (D') étaient parallèles alors (D) serait parallèle (au sens large) au plan (P'1) ce qui signifierais que (D) est contenue dans (P'1) ou bien disjointe de (P'1) et donc que le système :
x-y=5
y+2z=-1
x+2y+z=2
admet 0 ou une infinité de solutions.
Or le déterminant du système est donc ce système admet une unique solution.

[fabes]

merci beaucoup