Générateur de (Z/pZ)*

[mathelot]

Bonjour,

soit p un entier premier
est un groupe multiplicatif

pourquoi, si et q>1
est cyclique constitué des puissances de q ?

j'essaye de retrouver le résultat
n'est pas injective car l'ensemble d'arrivée est fini


q a un ordre r strictement positif

r |(p-1)



ce qui m'échappe, c'est pourquoi tous les éléments de G sont sous forme de puissances de q ? <---c'est pas toujours vrai

est-ce que l'ordre de q peut être

p-1 n'est pas premier

[Doraki]

(Z/pZ)* est cyclique à (p-1) éléments donc il a ;)(p-1) générateurs.

Pour montrer la cyclicité, ça se base sur le fait que Z/pZ est un corps, et en regardant les polynômes cyclotomiques.

En regardant les racines de X^d - 1 pour tout d qui divise (p-1), on compte et on voit qu'il existe ;)(p-1) racines de X^(p-1)-1 qui ne sont pas racines des autres X^d-1, donc qu'il existe ;)(p-1) éléments de (Z/pZ)* d'ordre (p-1).
L'un quelconque d'entre eux engendre (Z/pZ)*, qui est donc cyclique.

Je ne crois pas connaître de caractérisation simple de ces générateurs,
mais c'est en tout cas pas "gcd(p,q) = 1" vu que ça, ça caractérise les (p-2) éléments différents de 0 et 1.

[abcd22]

Bonjour,

pourquoi, si et q>1
est cyclique constitué des puissances de q ?

Comme l'a dit Doraki, il n'y a pas de caractérisation simple des générateurs de (Z/pZ)*, tu dois confondre avec le résultat qui dit que si gcd(p,q) = 1, alors q est un générateur du groupe additif Z/pZ.

[mathelot]

oui, merci, en fait je confondais.

c'est beaucoup plus compliqué et intéressant que je ne pensais.
En fait p est premier mais ce sont les facteurs de (p-1)
qui donnent l'information sur (Z/pZ)*,x

Ou puis-je obtenir des renseignements ?

[mathelot]

ah oui, j'ai le sentiment de comprendre un tout petit peu...

les éléments du groupe multiplicatif (Z/pZ)*
vérifient tous Fermat



donc c'est un groupe constitué de racines (p-1)-ieme de l'unité,
un peu comme les nombres complexes de U.

du coup les différents polynomes et
entretiennent des relations du style




ce qui doit permettre de les organiser en treillis.

Par contre, comment s'organisent leurs racines ?

[mathelot]

On peut faire de la transformée de Fourier discrète sur ces
groupes cycliques ?

[abcd22]

Je ne sais pas exactement ce que tu cherches comme résultats, peut-être que le cours d'arithmétique de Marc Hindry t'intéressera (poly sur sa page web, est aussi paru en livre chez Calvage et Mounet avec des chapitres supplémentaires), et aussi les livres de la bibliographie de ce cours, par exemple le Demazure parle de transformée de Fourier discrète.

[mathelot]

merci ....................................

[mathelot]

re-bonjour,

si j'en considère 2,
Z/pZ et Z/qZ en supposant p et q deux premiers distincts

il y a une surjection de

qui se quotiente en un isomorphisme d'anneaux par le théorème chinois


Est-ce que l'on doit s'attendre à

(Z/pqZ)* soit isomorphe à
de cardinal (p-1)(q-1) et cyclique

quand je fais un essai avec p=11 et q=3
je ne trouve pas d'élément d'ordre 20 dans (Z/33Z)* ???

c'est ça qui m'étonne

en effet , la calculatrice m'affiche
pour les tels que gcd(x,33)=1

et ceux
sont ceux tels que gcd(x,33)>1
donc eux, ne seront pas des inversibles de Z/33Z.

je ne vois pas trop..je m'attendais à trouver un x d'ordre strictement supérieur à 10 , modulo 33, parmi les inversibles

[Doraki]

C'est normal, tous les (Z/nZ)* ne sont pas cycliques :

Pour (Z/33Z)* = (Z/3Z)* x (Z/11Z)* = Z/2Z x Z/10Z
et Z/2Z x Z/10Z n'est pas cyclique.
Pour tout x de (Z/33Z)*, x^10 = 1 car 10 est un multiple de 2 et de 10.