Generalité sur la densité

[superkader5]

Bonsoir j'ai une question un peu générale. Comment montre t'on qu'un ensemble A est dense dans un autre ensemble B. Merci.

[alavacommejetepousse]

bonsoir on est dans un espace topologique non ?

on montre que l'adhérence de A vaut B

que pour tout b dans B tout voisinage de b rencontre A

si on dispose des suites que tout b de B est limite d'une suite d'éléménts de A

[superkader5]

Non, on est pas forcément dans un espace topologique mais votre 3eme solution est la bonne pour mon exercice. Merci.

[AlexisD]

Il faut pourtant munir ton espace d'une topologie. Comment peux-tu parler d'adhérence, de fermés et donc d'ouverts dans ton espace sans topologie ?

[superkader5]

Ben dans mon exercice, on est dans le sous espace constitué des fonctions polynomes. Je ne sais pas a priori si on est dans un espace topologique. Mais comme vous le dites comme on parle d'adhérence on est forcément dans un espace topologique.

[Ben314]

Ben dans mon exercice, on est dans le sous espace constitué des fonctions polynomes. Je ne sais pas a priori si on est dans un espace topologique. Mais comme vous le dites comme on parle d'adhérence on est forcément dans un espace topologique.

Le sous espace de quoi ?
A mon avis, justement, ça doit être le sous espaces de fonctions ??? muni de la norme (ou la topologie) ??? ce qui fait que ton "gros" espace est bien un espace topologique et que cela défini bien une topologie sur le sous espace constitué des fonctions polynômes.
Il est indispensable que tu sache de quelle topologie il s'agit pour pouvoir ne serait-ce que commencer à montrer que quelque chose est dense.
Travailler avec des suite ne risque pas de résoudre le problème vu que tu devra bien évidement avoir une définition précise de ce que signifie la convergence d'une suite de polynômes !!!

[superkader5]

Bon je vais mettre l'exercice en entier pour que tout le monde comprenne. :we:

Soit u:[a,b]->R une fonction continue, strictement positive.

1)on montre d'abord que
(associé a u)=int(f(t)g(t)(bar)u(t))dt de a à b définit un produit scalaire sur C([a,b],C).
On note || ||u la norme associé.

2) on montre que C([a,b],C) munit de se produit scalaire n'est pas un espace de hilbert.

3) Peut t-on compléter (C([a,b],C);|| ||u) en espace de hilbert?
cette question je pense que c'est oui mais je ne sais pas pourquoi.

et enfin
4) Montrer que le sous espace vectoriel de C([a,b],C) constitué des fonctions polynomes est dense dans (C([a,b],C); || ||u).

Avec ca ou est ce que l'on parle de topologie?

[Doraki]

C'est la norme qui induit une distance, et donc une topologie, sur C([a,b],C)