Généralisation d'un résultat connu + lemme d'Euclide

[adexvectorquantic]

Bonsoir.

Je cherche à démontrer le résultat suivant : si trois nombres divisent un nombre et que les trois nombres sont premiers entre eux, alors le produit des trois nombres divisent .

Ma première tentative a été de calquer la technique du cas (où on considère nombres diviseurs), cas fameux qu'on enseigne en classe de Terminale :
On a : , et . On a aussi : pour (identité de Bezout).
On obtient après multiplication :
Le problème auquel je suis confronté, est qu'on ne peut pas obtenir une expression de la forme quelque soit la substitution de qu'on opère dans l'égalité précédente.

Ma deuxième tentative, est plus hasardeuse. Elle consiste à démontrer le résultat voulu en passant par le lemme d'Euclide (qui aurait la formulation suivante pour : si et alors ).
Mes tentatives pour démontrer que le lemme d'Euclide implique le résultat voulu sont mièvres. Et pire encore : je n'ai aucune idée de comment démontrer un tel lemme d'Euclide (à trois nombres) sur lequel serait supposément basé mon résultat.

Voici mes quelques bribes de raisonnement pour démontrer que le lemme d'Euclide implique le résultat voulu :
On a , et . On a aussi : .
Montrons que .
donc et . Par conséquent : .
Mais, comme , l'utilisation du lemme d'Euclide (remarquez que c'est le lemme d'Euclide à deux nombres) donne :
A partir de là, je ne sais pas si multiplier la dernière égalité par ou bien répéter le procédé pour les deux autres paires et .

Si quelqu'un souhaite m'aider à trouver une piste ou si quelqu'un d'autre a un lien vers un site où ces généralisations (très utiles) de résultats très connus sont démontrées, je lui serait très reconnaissant

Merci par avance

PS : Pour certains (et je crois qu'historiquement aussi) le lemme d'Euclide consiste à dire -> si un nombre est premier et qu'il divise alors il divise .

[Ben314]

Salut,
Si par "premiers entre eux", tu veut dire globalement premiers entre eux, c'est à dire , alors ton résultat est clairement faux : 6, 10 et 15 sont globalement premiers entre eux, chacun des trois divise 30, mais le produit des trois, c'est à dire 900 ne divise pas 30.
Pour qu'un tel résultat soit valable, il faudrait les supposer deux à deux premiers entre eux, c'est à dire et dans ce cas, il suffit d'utiliser deux fois le lemme d'euclide usuel pour parvenir au résultat.

[adexvectorquantic]

Salut,
Si par "premiers entre eux", tu veut dire globalement premiers entre eux, c'est à dire , alors ton résultat est clairement faux : 6, 10 et 15 sont globalement premiers entre eux, chacun des trois divise 30, mais le produit des trois, c'est à dire 900 ne divise pas 30.
Pour qu'un tel résultat soit valable, il faudrait les supposer deux à deux premiers entre eux, c'est à dire et dans ce cas, il suffit d'utiliser deux fois le lemme d'euclide usuel pour parvenir au résultat.

Merci infiniment, j'avais effectivement mal compris mon corrigé d'exercice (qui disait "5,9,8 are relatively prime"). Je comprends mieux pourquoi la généralisation de ce résultat (et du "lemme d'Euclide") étaient introuvables sur Internet.

Merci.