Orthogonal bien connu.

par **Nightmare** » 27 Aoû 2009, 12:26

Salut salut,

Un autre exercice que j'aime bien si vous vous ennuyez :

Soit f une fonction continue de [0,1] dans R et vérifiant :
pour toute fonction g vérifiant les conditions :

1)g est deux fois dérivable
2)

Que dire de f?

par **euler21** » 27 Aoû 2009, 13:48

Bonjour,
f ne serait pas une fonction affine ?

par **Nightmare** » 27 Aoû 2009, 14:04

C'est bien ça, pourquoi?

par **euler21** » 27 Aoû 2009, 14:12

Ben c t juste une intuition, g remarqué que les fonctions constantes vérifiaient la condition et que pour les fonctions affines, c'est à dire les polynômes du degré 1 il suffisait de faire une intégration par parties.
Le problème dans ta question est que f est juste continu. ceci dit, on a pas le droit de faire une intégration par parties ...

par **mathelot** » 27 Aoû 2009, 14:59

...............................

par **girdav** » 27 Aoû 2009, 15:27

Bonjour.
Ne peut-on pas appliquer le théorème d'approximation de Weierstrass à

?

par **Nightmare** » 27 Aoû 2009, 15:32

girdav : peut être mais je vois mal où ça t'amènerait! Une preuve de dualité résout le problème en 2 ligne mais dépasse le prog de prépa

par **euler21** » 27 Aoû 2009, 15:34

Si on veut résoudre ce problème uniquement par des outils de prépa quelle méthode nous conseilles-tu ??

par **Nightmare** » 27 Aoû 2009, 15:38

je vous laisse réfléchir un peu! Mon idée a été de considérer des formes linéaires précises.

par **Nightmare** » 30 Aoû 2009, 17:28

Pas de preuve? Je suis déçu :lol3:

par **euler21** » 30 Aoû 2009, 20:29

le problème vient du fait que si on veut considérer des formes linéaires comme ça été mentionné, on doit se restreindre au sous espace vectoriel des fonctions dérivables, ce qui va nuire à la généralité du résultat qu'on veut trouver

par **Nightmare** » 04 Sep 2009, 23:38

Pour les intéressés, voici comment j'ai procéder. Solution à débattre éventuellement :

Je note C l'ensemble

Considérons les opérateurs

pour des fonctions h et i continues sur [0,1].

L'idée de cet opérateur est que

.

Le but est alors de montrer qu'il existe une application affine

telle que

.

En fait l'idée est de montrer que plus globalement il existe

affine telle que

et appliquer alors à

Notons

. On a alors

S'il existe a et b tels que

vérifie l'énoncé, alors on doit avoir

et vice versa.

Montrons que ce a et b existent.

L'idée est de remarquer que

une base du dual de

, espace des fonctions affines (en restreignant l'identité et la fonction 1 à ce dernier bien sûr).

Alors il existe a et b réels tels que

Il ne reste plus qu'à montrer que l'égalité est vraie partout.

Considérons

qui n'est autre qu'un supplémentaire de A.

Sur B, l'opérateur

est nul. Pour conclure il nous faut donc montrer que

est nulle sur B.

Soit h dans B (vérifiant donc

) et g la primitive seconde de h vérifiant

Alors,

et de même :

(IPP)

par conséquent g vérifie les conditions de l'énoncé et on a donc

!

CQFD.

Qu'en pensez-vous?

Orthogonal bien connu.

Orthogonal bien connu.

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