Formule de Taylor

[Anonyme]

Bonjour

J'ai deux questions à vs poser et j'espère que vs pouvez m'aider
Je viens de faire un exo sur le calcul différentiel, il y a une question qui ns demande de trouver la formule de Taylor de $ \Phi $ d'ordre 3 au point $(1,-1)$, on sait tous que la formule de taylor s'écrit ainsi

mais je comprends pas comment l'utiliser pour à deux variables
Autre question: C'est quoi l'Expression approchée d'une fonction à deux variables au voisinage d'un couple
Amicalement:)

[tize]

Bonjour,
regarde ici l'exemple en fin de page...

[busard_des_roseaux]

bjr,

pour compléter ce qu'écrit Tize, pour des fonctions de plusieurs variables, la dérivée est remplacée par la différentielle. On continue d'approcher f(x,y,z)
localement par une combinaison linéaire d'accroissements infinitésimaux (la différentielle). La dérivée seconde sera la différentielle de la différentielle
soit une apllication linéaire allant de

Cette différentielle seconde est identifiée à une application bilinéaire.

Plus généralement, la dérivée n-ième sera confondue avec une application n-linéaire allant de vers F.

Ce qui est tout à fait étonnant et pratique, c'est que, dans la formule de taylor à p variables, la différentielle d'ordre n se calcule comme une puissance
n-ième formelle de l'opérateur de différentiation, par la formule du multinôme.
Exemple avec p=2 et n=2:



où les puissances sont remplacées par des différentiations.

En conclusion, il existe une formule de Taylor à p variables, à l'ordre n,
avec la même formule de Taylor à une variable.

cf Calcul différentiel d'Henri Cartan chez Hermann.