Formule de Taylor

[Vitlia]

Bonsoir j'étudie en ce moment les formules de Taylor pour la construction de polynome.
J'aurais besoin d'aide car je ne comprends pas vraiment comment mettre en place le reste du polynome avec le symbole de landau , c'est à dire le dernier terme de:
f(x)=f(i)+f'(i)(x-i)+...................+ o(...) (x-->i)

Merci de votre aide.

[Ben314]

Bonsoir,
J'a pas tout compris...
Que veut tu dire par "mettre en place le reste du polynome avec le symbole de landau" ?
Je vois pas trop "qui" est le polynôme, ni se que signifie le mot "reste du polynôme"...

Tu parle d'une division polynomiale A=BQ+R ?

[Vitlia]

Je vais essayer d'être plus précis :
En cours d'analyse mathématique en ce moment on étudie les limites et le professeur nous apprend des méthodes pour calculer autrement des limites lorsque on est en présence d'une forme indéterminée. Lorsque la limite d'une fonction est de forme indéterminée, on a vu en cours que l'on peut reconduire la fonction sous forme d'un polynome et d'après les formules de taylor toute fonction peut se réécrire sous forme d'un polynome de la manière suivante:
P(x)=f(i)+f´(i)*(x-i)+...+{[(f^(n))(i)]/[n!]}*[(x-i)^(n)]
Avec x qui tend vers i
Et avec (f^(n))(i) la dérivée n-ième de f lorsque x tend vers i.

Ensuite on a fait des exemples:
Par exemple, e^x=1+x+...+[(x^n)/n!]+o(x^n)(x--->0)
Avec P(x)=1+x+...+[(x^n)/n!]
Et Avec [e^(x)]-P(x)=o(x^n)(x--->0)
Dans ce cas ce que mon professeur appelle le reste du polynome est o(x^n) et il note r(x)=o(x^n).

Et ce que je ne comprend pas, c'est comment il arrive à déterminer ce fameux "reste" dans ce cas, mais aussi dans tous les autres cas lorsque l'on considère d'autres fonctions.

[Ben314]

O.K., je comprend mieux (au niveau du vocabulaire, ce n'est pas celui que j'aurais employé, mais... on s'en fout...)
Aprés, quand tu écrit ça :

reconduire la fonction sous forme d'un polynome et d'après les formules de taylor toute fonction peut se réécrire sous forme d'un polynome de la manière suivante

, ça me donne l'impression que tu n'as effectivement pas bien compris la notion de développements limités (D.L. pour les intimes... :zen:).
Ton polynôme
il n'est pas égal à ta fonction f de départ, c'est uniquement une approximation de f valable lorsque x n'est "pas trop loin" de .
Par exemple, si on regarde le cas n=1, on a juste qui est un polynôme de degré 1, c'est à dire une fonction affine et, j'espère que tu aura reconnu dans cette formule l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse .
Donc pour le moment (i.e. avec n=1), on "approxime" la courbe par la tangente en (pour x "assez proche" de x_o)
De même, pour n=2 (ou 3 ou... plus), on approxime la courbe par une parabole (ou la courbe d'un polynôme de degrés 3... ou plus).
Pour bien visualiser, je t'inciterais fortement à utiliser un logiciel permettant de tracer les courbes de plusieurs fonctions sur un même dessin et de lui demander, sur le même dessin, de tracer :
a) et les courbes ; ; . . .
b) (plus joli) et les courbes ; ; . . .
Après, une fois bien compris que ce qu'on fait, c'est des approximations, il faut un peu comprendre comment dire mathématiquement que ce sont "de bonnes approximations lorsque x tend vers x_o".
Pour cela, évidement, on commence par poser que j'appellerais plutôt "le terme d'erreur" (plutôt que que "le reste") vu que r(x), c'est l'écart qu'il y a entre la fonction f et son approximation p(x).
Évidement, dire que "P approxime bien la fonction f pour x proche de ", ça veut exactement dire que "r(x) est petit pour x proche de ", c'est à dire que r(x) tend vers 0 "assez vite" lorsque x tend vers .
Reste à traduire ce que veut dire le "assez vite". Lorsque x tend vers la quantité tend évidement vers 0. La quantité aussi, mais elle tend plus vite vers 0 (lorsque vaut un dixième, vaut un centième...) La quantité tend encore plus vite vers 0... etc...
Lorsque le reste tend vers 0 plus vite que , c'est à dire lorsque l'on a où tend vers 0 lorsque x tend vers on dit que " est petit o de " et on note (notation le Landeau) qui est juste un raccourcit d'écriture pour dire que ou, si tu préfère, que
Après, il y a un théorème ("de Taylors" évidement) qui dit que, si f est n fois dérivable en et que sa dérivée n-ième est continue alors le développement limités de f en à l'ordre n (ton polynôme) est une approximation de f qui est en .
On écrit en général ça :

et ça signifie qu'il existe une fonction tendant vers 0 lorsque x tend vers telle que

[Vitlia]

Merci beaucoup pour la réponse détaillé apportée et je m'excuse si je n'ai pas employé le bon terme de "développement limité" parce que j'étudie actuellement en Italie et ici ils appelent ça justement polynome :we:

Merci encore pour l'aide apporté.