Fonctions numériques

par **Florix** » 21 Jan 2006, 16:45

Bonjour,

Voici un énoncé que je n'arrive pas à résoudre :

Soit f une application de R dans R, dérivable sur R telle que f(0)=0 et pour tout réel x, f ' (x) = e^(-x * f(x) )

1/ Dresser le tableau de variation de f
e > 0 donc f ' (x) > 0 donc la fonction f est strictement croissante pas de problème

2/ Déterminer un équivalent de f au voisinnage de 0

Euh deja que j'ai beaucoup de mal avec les équivalents quand j'ai la formule de f, alors là, on a que f ' (x) et faut trouver un équivalent de f ???? Je sais pas du tout comment on fait !

3/ Démontrer que pour tout x différent de 0, f(x) < x
La encore je seche ! Je vois pas comment on fait sachant qu'on a pas f(x)

4/ Trouver la limite de f ' (x) en +oo
Je seche encore

Si vous pouviez me donner des pistes ! Mais soyez très explicite et n'hésitez pas à me parler comme à un élève de 6° parce que mon niveau en maths est vraiment affligeant !

Merci d'avance

Florix

par **Florix** » 21 Jan 2006, 16:52

Ah oui et aussi à un moment j'ai une question "Comparer les fonctions suivantes :

f(x) = 1 +x
g(x) = 1 + 2x
h(x) = e^x "

Je suppose que Comparer veut dire trouver qui est supérieur par rapport à qui, genre intuitivement je dirais f < g < h

par **rene38** » 21 Jan 2006, 17:02

Bonjour

Taylor devrait t'apporter son aide pour le 2).

par **yos** » 21 Jan 2006, 17:02

2) f(0)=0 et f est C° en 0 donc f~0 donc -xf(x)~0, donc exp(-xf(x))~1.

3) f est strictement croissante et f(0)=0 donc f(x) est du signe de x donc
-xf(x)<0, donc f'(x)<1 donc f(x)

4) Pour x>1, xf(x)>xf(1), donc -xf(x)<-xf(1) et le second membre tend vers -oo quand x tend vers +oo, donc -xf(x) aussi et donc f'(x) tend vers 0.

par **Florix** » 21 Jan 2006, 17:07

Ah oui lol ! Prolongement par continuité j'avais pas pensé !

Merci beaucoup ! (je ne saurais dire - je me repete mais bon... - à quel point ce site m'est urile !)

Encore merci yos !

par **yos** » 21 Jan 2006, 17:21

Florix a écrit: Prolongement par continuité j'avais pas pensé !

C'est pas le terme adapté. On prolonge pas f car elle est définie sur R.

Pour tes autres questions, c'est bien ça : comparer en maths est très prosaïque : il s'agit de savoir qui est le plus grand...

par **Florix** » 21 Jan 2006, 17:27

Yos juste j'ai un petit problème !

je connais pas l'inégalité des accroissements finis !

Je comprends pas comment tu passe de f ' (x) < 1 à f(x) < x

par **yos** » 21 Jan 2006, 17:53

inégalité des AF : |f(b)-f(a)|Ici M=1, b=x et a=0.
Au passage, je vois que j'ai été trop vite : tu obtiens seulement |f(x)|<|x|.
Du coup j'ai un doute sur l'énoncé : es-tu sûr que c'est pour x non nul qu'on doit avoir f(x)Selon moi pour x<0, tu as f(x)>x

Si tu as pas droit à l'IAF, on peut contourner le truc ainsi :
g(x)= f(x)-x
g'(x)=f'(x)-1<0
donc g décroit et comme g(0)=0 , on a pour x>0, g(x)Et pour x<0, g(x)>g(0), f(x)>x. Comme avec l'autre méthode.

par **Florix** » 21 Jan 2006, 17:54

En fait dans l'énoncé c'est pour x appartient à R + étoile

par **yos** » 21 Jan 2006, 17:58

Alors ça roule.

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