Fonctions bijective

[Gonra]

bonsoir,

j'essaye de démontrer que :

Si f est une application de A dans B et s'il existe une application g de B dans A telle que :
f o g = idB
g o f = idA

alors f est bijective

je bloque si quelqu'un peut m'aider svp

J'ai dit que f o g et g o f sont bijective mais j'arrive pas à continuer

Merci d'avance.

[Ben314]

Y'a plein de façons de faire. Par exemple, tu as (peut-être) vu en cours que :
- Si fog est surjective alors f est surjective.
- Si fog est injective alors g est injective.
Et ça suffit pour montrer que f est bijective en partant des observations que tu a faîtes : fog est surjective donc f est surjective + gof est injective donc f est injective.

Mais je t'inciterais plutôt à le faire "à la main", c'est à dire à prendre un y (quelconque) de l'ensemble d'arrivé B de f et à montrer qu'il existe un et un seul x de l'ensemble de départ A de f tel que f(x)=y.

[Gonra]

J'aimerais bien

-1) Si fog est surjective alors f est surjective.
- 2) Si fog est injective alors g est injective.

mais vu que c'est un exercice de colle je vais devoir le prouver ça aussi

pour la 2)

si fog est injective et soit x, x' telle que g(x)=g(x')
alors f(g(x))=f(g(x'))
fog(x)=fog(x') or comme fog est injective alors on a x=x' et donc g est injective

pour la 1) je n'y arrive pas

si fog est surjective et si il existe y appartenant à B telles que f(x)=y

[Ben314]

O.K. pour le 2)

Pour le 1) :
Si g:A->B et f:B->C avec fog:A->C surjective.
On veut montrer que f est surjective. On prend donc un z dans l'ensemble d'arrivé C de f et on doit trouver un y dans l'ensemble de départ B de f tel que f(y)=z.
Or on sait que fog est surjective, ce qui assure qu'il existe (au moins) un x dans l'ensemble de départ A de fog tel que fog(x)=z.
Il suffit alors de prendre y=g(x) pour avoir f(y)=z.

[Ben314]

Mais, à mon avis, c'est pas mal non plus de savoir faire l'exo complètement "à la main" :

On veut montrer que f:A->B est bijective.
On prend donc un élément quelconque y de B et on doit montrer qu'il existe un et un seul x dans A tel que f(x)=y.
Existence : Si je prend (comme par hasard...) x=g(y) alors f(x)=fog(y)=y vu que fog=IdB
ce qui prouve qu'il y a au moins un tel x.
Unicité : à toi le tour...

[Gonra]

Unicité : si on prend x et x' (x=/=x') dans A telle que f(x) = f(x') alors g(f(x))=g(f(x'))
x = x' car g o f = idA
l'unicité(injectivité) et l'existence (Surjectivité) étant démontré alors f est bijective