An. Fonctionnelle, esp de sobolev H^1

[RadarX]

Bonsoir tout le monde,

je commence par rappeler que l'espace de sobolev est defini ainsi: .

Existe alors un thm, qui pour donner un sens à u(a) et u(b), affirme qu'il existe une fonction dans la classe de (i.e. ) telle que .

En fait je ne vois pas tellement en quoi est ce que les definitions de et de posent probleme. Pourquoi aller chercher le thm (le marteau je dirais) or qu'on pourrait simplement prendre la meme fonction prolongée en a et b par . Ce serait bien une fonction egale p.p. à u et definie en a et b comme on le voudrait.

Pourquoi cette necessité d'aller chercher une fonction dans la classe de dans ?

Merci d'avance pour les posts.

[serge75]

Tu as du comprendre de travers ton théorème, car tel que tu l'énonces (ou tel que je l'ai compris), il est faux.
Voilà ce que j'ai cru comprendre :
tu affirmes que si u est dans L2, il existe v continue égale à u presque partout telle que u(0)=u(1)=0 (aveca=0 et b=1 ici).
C'est visiblement faux, essaie avec u(x)=1 pour x dans [0,1] (et au besoin u(x)=0 ailleurs).
Ou ai-je mal compris ce que tu affirmes?
Par contre tu peux trouver v proche à epsilon près de u pour la norme de L2, continue, et qui vérifie v(0)=v(1)=0.

[RadarX]

Tu as du comprendre de travers ton théorème, car tel que tu l'énonces (ou tel que je l'ai compris), il est faux.
Voilà ce que j'ai cru comprendre :
tu affirmes que si u est dans L2, il existe v continue égale à u presque partout telle que u(0)=u(1)=0 (aveca=0 et b=1 ici).
C'est visiblement faux, essaie avec u(x)=1 pour x dans [0,1] (et au besoin u(x)=0 ailleurs).
Ou ai-je mal compris ce que tu affirmes?
Par contre tu peux trouver v proche à epsilon près de u pour la norme de L2, continue, et qui vérifie v(0)=v(1)=0.

Bonjour Serge,

Ton contre exemple ne marche pas. Car une fonction u = 1 sur [0;1] est bien dans mais elle est d'emblée continue: .
C'est un cas trivial qui confirme meme le théorème tel que je l'ai exposé. Le theoreme en question doit se trouver dans le livre D'ANALYSE NUMERIQUE DES EDP de Raviart et Thomas, je ne sais plus quel page.

Je precise que l'on travaille dans un intervalle (a;b) borné (ouvert ou semi-ouvert ou meme fermé).

[mathelot]

bonjour,

je connais pas les espaces de Sobolev malheureusement mais il me semble
que l'espace est celui des (classes de) fonctions dont un représentant est et vérifie les conditions aux bords.
Si on connait pas, on se pose la question:
est ce un e.v ? est-il normé ? complet ? quel est son dual topologique ?
l'exemple de serge montre qu'il n'est pas complet pour la norme

[RadarX]

bonjour,

je connais pas les espaces de Sobolev malheureusement mais il me semble
que l'espace est celui des (classes de) fonctions dont un représentant est et vérifie les conditions aux bords.
Si on connait pas, on se pose la question:
est ce un e.v ? est-il normé ? complet ? quel est son dual topologique ?
l'exemple de serge montre qu'il n'est pas complet pour la norme

Telle n'est pas ma question d'origine, mais je peux quand meme avancer quelques eclaircissements a tes curiosités.

Commencons par repreciser que le contre exemple de Serge ne semble pas convenir: c'est un cas trivial!

Ensuite un sobolev ce n'est pas exactement ce que tu decris mais la definition est tres simlple (voir n'importe quel livre d'analyse fonctionnelle ou d'EDP ou encore Wikipedia)

Enfin le thm que j'evoque dit justement cet ensemble des fct de dont un representant est est tout entier; donc c'est bien un ev, pouvant etre normé. La completude dependant de la norme, je me garde de dire des betises. Et son dual pourrait bien etre lui meme.
Encore une fois, on travaille dans un borné.

[serge75]

ok radar, mais f(x)=x ? Il n'y a pas de fonction g continue égale presque partout à f avec g(1)=0.

[serge75]

OK au temps pour moi, j'avais mal compris.

[Ted]

J'ai écrit une première réponse qui me semble être bétise et ne pas correspondre à la question.
Je recommence donc:
en fait il faut vérifier que la définition est bien cohérente au niveau des classes,
je prend la classe [u] dans ,
c'est une classe de L^2.
Donc si je choisis 2 représentant différents de cette même classe u et v ([u]=[v]), on sait que l'on peut choisir v telle que v=u pp. Alors en particulier, si u vérifie strictement les conditions de je peux choisir
v(x)=1 si x=a et b
= u(x) sinon

et alors v ne vérifie plus les conditions de . Pourtant v représentait bien une classe de cet ensemble!
En fait imposer des valeurs en a et en b n'a pas vraiment de sens si l'on parle de telles classes

Il faut donc définir un représentant unique qui clarifiera cette affaire.
Normalement dans la preuve on prend [v] dans et on veut montrer qu'il n'y a pas de problème si l'on impose les point a et b. On suppose alors que v et v' sont bien dans L^2 uniquement si v appartient à une telle classe alors on en déduit qu'il existe un représentant pour v qui qui s'annule en a et b.
Et comme ce représentant est lui et sa dérivée restent dans L^2.
Donc quelque soit la classe choisie on trouve un représentant qui s'annule comme l'on veut. Aucun soucis alors pour imposer u(a)=u(b)=0 directement dans la définition sur les classes.

Pourquoi ne pas choisir v presque partout et qui s'annule en a et b, parce que se sont bien deux représentant de la même classe mais rien ne nous dit que v modifié en 2 point restera dans L^2 et que sa dérivée aussi et cela demande peut-etre plus de travail.
Par ailleurs choisir un représentant permet de dire qu'en fait est inclus dans , ce qui vaut son pesant d'or!
En effet toutes les fonctions de (même les plus tordues) pourront s'assimiler à une fonction par ce travail sur les classes.

Par ailleurs, si je ne dit pas de bêtise pour les espaces ou l'on impose jusqu'à la dérivée p-ième d'être L^2, on peut en plus choisir un représentant
(à vérifier quand même...)

Malgrè tout ça, et tout comme serge, je garde quelques réserves sur ta définition de .
Je comprend très bien ce que tu veux dire, mais ça me parait mal écrit. C'est une définition de ton cru ou tu nous la sors d'un livre?
Si tu l'a sortie d'un livre je suis curieux de voir comment il explique l'existence de la fonction sans autre précisions.

[RadarX]

...Je comprend très bien ce que tu veux dire, mais ça me parait mal écrit. C'est une définition de ton cru ou tu nous la sors d'un livre?
Si tu l'a sortie d'un livre je suis curieux de voir comment il explique l'existence de la fonction sans autre précisions.

J'ai appris il y a un bout de temps quand meme que etait les les fonctions de dont la derivée (au sens des distributions appartenait encore a .
Et que etait les fonctions de nulles au(x) bord(s).

Par ailleurs, il n'est pas de mon cru!!!!

C'est un resultat classique et connu de l'analyse fonctionnelle; alors je ne la cerne encore peut etre pas tres bien.

J'ai aussi donné des reference (pas précises): APPROXIMATIONS DES EDP de Ravairt et Thomas (chez MASSON) je ne sais plus quelle page, ou dans n'importe quel autre livre d'analyse fonctionnelle.

[Ted]

Justement, dans mes références, je n'ai jamais vu écrit comme ça.
Quand je disais que je comprenais très bien de quoi tu parlais, c'est justement car je sais aussi qu'en gros dans on parle de fonctions qui s'annulent au bord. Mais c'est justement le "en gros" qui nous pose problème et qui j'en suis sûr te pose problème au vu de ta question.
D'ailleurs les exemples de serge sont très justes et montre bien la limite de cette définition car se sont bien des contre-exemples qu'il nous a donné.

Je te donne ce que je sais de source sûre:

1) dans tout court on sait que chaque classe de fonction peut être représentée par une fonction . On ne sait rien pour l'instant sur l'annulation au bord.

2) sont les fonctions à support compact. Pour elles, on est d'accord qu'elles s'annulent au bord. C'est pour ça qu'elles sont construites.

3) par contre, pour moi ce n'est rien d'autre que la fermeture de dans .
Autrement dit, pour toute fonction u de , il existe une suite (fn) de fonctions dans qui converge vers u pour la norme de .

on dit donc des fonctions u de qu'elles satisfont u=0 sur le bord au "sens faible"

"en gros" elles sont très proches de fonctions qui s'annulent au bord.
Je ne pense pas que cela veut dire qu'elle s'annulent au bord tout court!

4) je connais un théorème qui dit:
si u est dans avec u(0)=u(1)=0 et u restreint à ]0,1[ est dans ,
alors, u est dans de .

Par contre toi tu veux en quelques sorte prouver la réciproque.
Cette réciproque je ne la connait pas.

Alors le raisonnement serait le suivant: si tu prends une fonction de avec ma définition 3) et que tu prouve que la classe de cette fonction dans peut être représenté presque partout par une fonction u dans avec u(0)=u(1)=0 et u restreint à ]0,1[ dans alors il y a égalité entre et l'ensemble de ces fonctions u.

et j'écrirais:
avec u une fonction et [u] sa classe dans



et seulement après cela, avec une grande, grande précaution et que tout est clairement définit on pourrait écrire comme tu le fais.
Si ton fameux théorème est cette réciproque, tu as ton explication.
La définition que tu as n'est pas celle que l'on donne directement. Celle que l'on donne directement est la mienne. Pour que la tienne viennent coincider avec la mienne et bien... il faut montrer que c'est la même chose.
D'ailleurs je pense que ta définition n'est pas valable sur n'importe quel espace, ça ne peut donc pas etre la définition de base!
Il n'y a donc pas de problème d'ecriture à proprement parler, mais certainement un problème de cohérence avec ce qui a était écrit avant sur ton ouvrage.

[RadarX]

Justement, dans mes références, je n'ai jamais vu écrit comme ça.
Quand je disais que je comprenais très bien de quoi tu parlais, c'est justement car je sais aussi qu'en gros dans on parle de fonctions qui s'annulent au bord. Mais c'est justement le "en gros" qui nous pose problème et qui j'en suis sûr te pose problème au vu de ta question.
D'ailleurs les exemples de serge sont très justes et montre bien la limite de cette définition car se sont bien des contre-exemples qu'il nous a donné.

Je te donne ce que je sais de source sûre:

1) dans tout court on sait que chaque classe de fonction peut être représentée par une fonction . On ne sait rien pour l'instant sur l'annulation au bord.

2) sont les fonctions à support compact. Pour elles, on est d'accord qu'elles s'annulent au bord. C'est pour ça qu'elles sont construites.

3) par contre, pour moi ce n'est rien d'autre que la fermeture de dans .
Autrement dit, pour toute fonction u de , il existe une suite (fn) de fonctions dans qui converge vers u pour la norme de .

on dit donc des fonctions u de qu'elles satisfont u=0 sur le bord au "sens faible"

"en gros" elles sont très proches de fonctions qui s'annulent au bord.
Je ne pense pas que cela veut dire qu'elle s'annulent au bord tout court!

4) je connais un théorème qui dit:
si u est dans avec u(0)=u(1)=0 et u restreint à ]0,1[ est dans ,
alors, u est dans de .

Par contre toi tu veux en quelques sorte prouver la réciproque.
Cette réciproque je ne la connait pas.

Alors le raisonnement serait le suivant: si tu prends une fonction de avec ma définition 3) et que tu prouve que la classe de cette fonction dans peut être représenté presque partout par une fonction u dans avec u(0)=u(1)=0 et u restreint à ]0,1[ dans alors il y a égalité entre et l'ensemble de ces fonctions u.

et j'écrirais:
avec u une fonction et [u] sa classe dans



et seulement après cela, avec une grande, grande précaution et que tout est clairement définit on pourrait écrire comme tu le fais.
Si ton fameux théorème est cette réciproque, tu as ton explication.
La définition que tu as n'est pas celle que l'on donne directement. Celle que l'on donne directement est la mienne. Pour que la tienne viennent coincider avec la mienne et bien... il faut montrer que c'est la même chose.
D'ailleurs je pense que ta définition n'est pas valable sur n'importe quel espace, ça ne peut donc pas etre la définition de base!
Il n'y a donc pas de problème d'ecriture à proprement parler, mais certainement un problème de cohérence avec ce qui a était écrit avant sur ton ouvrage.

Sans tout bien lire de ton post, je vois que tu connais un peu le sujet et qu'on parle toi et moi des memes ... choses. , les fonctions infiniment derivables a supp compacts, les gros theoremes relatifs a ces espaces etc.
Tu as l'air d'avoir compris aussi mon pb. Alors je ne sais pas c'est un thm ou pas... je l'ai vu dans un cours manuscrit que j'ai recu d'un correspondant. C'est parce que justement cela me parrait bizarre (non necessaire) d'aller chercher un representant continu de pour donner un sens a u(1) et u(0).
Peut etre que suis je allé un peu trop vite à parler de thm.
Textuellement voila ce qui est marqué:

... on verra plus loin que dans la classe d'equivalence de pour la relation de l'egalité p.p., il existe un element donc et sont parfaitement definies. On identifiera à , ce qui permet de donner un sens a et .

Voila. En meme temps si ce resultat la est vraie et que ce n'est pas un thm!!!??????

[Ted]

Effectivement, ce que tu viens de completer est juste. Je ne connaissait pas ce résultat mais je l'ai trouvé ici

http://www.u-cergy.fr/rech/pages/courilleau/Sources/cours06_07/SobolevN.pdf

Quand on réussi à faire le tri dans les notations et que l'on retrouve ton cas particulier, ils expliquent à peu prés ça:

Comme on l'a déjà dit, ça n'a aucun sens de fixer 2 valeurs pour des fonctions .
Par contre, (et c'est là qu'intervient certainement ton théorème) les fonctions de sont égales pp à des fonctions et en particulier les fonctions de
Or pour ce représentant particulier, ça a un sens de définir les valeurs au bord.

Donc en fait, je comprend la définition ainsi:
Les fonctions de sont les fonctions de (c'est à dire avec la dérivée dans ) telle que leur representant continu (qui existe forcément grâce à ton théorème) s'annule au bord.

C'est à peu de chose près la dernière définition que j'ai donnée. La tienne étant à utiliser avec précaution, mais maintenant que l'on a bien saisi l'ambiguité pourquoi ne pas l'utiliser?