Fonction sin(1/x) lipschitzienne

[Dysklain]

bonjour,

je suis bloqué à la toute dernière partie d'un dm de maths qui concerne les fonctions lipschitzienne.

Dans la dernière partie, on démontre que si une fonction est localement lipschitzienne (une fonction est localement lipschitzienne sur I si pour x de I, il existe r>0 tel que la restriction de f à I inter [x-r,x+r] soit lipschitzinne) sur un intervalle I=[a,b] ou a
ensuite on considère la fonction de ]0,+oo[ dans R qui a x associe sin(1/x)

dans un premier temps on doit montrer qu'elle est localement lipschitzienne.

pour ça, en majorant |sin(1/x)-sin(1/y)| par |x-y|/xy puis en prenant x,y dans [z-r,z+r] avec z dans I, on arrive à |x-y|/(z-r)². (donc on l'a bien majoré)

la dernière question du dm, c'est de dire si sin(1/x) est ou non lipschitzienne.. et là je suis bloqué.

donc pour résumer, si certains acceptent de se pencher sur le pb, j'aimerais savoir si la solution pour montrer que sin(1/x) est local lips est bonne, et enfin avoir qqs indications pour la lipschitzienneté.

merci d'avance.

[alavacommejetepousse]

bonjour

localement lipschitz ok

sin(1/x) non lipschitz sur I ( la grosse différence est que I n'est pas un segment)

pour le montrer prendre (xn ) et( yn) et xn,yn suites bien choisies qui tendent vers 0 +

[Dysklain]

on peut utiliser (xn)=(2/(2n+1)pi) et (yn)=(xn+1), mais je ne vois pas du tout comment.
Par l'absurde ? en supposant qu'il existe k>0 tq pour tout x,y de I, on ait l'inégalité puis passage à la limite ? mais ça n'aboutit à rien malheureusement.

[alavacommejetepousse]

oui peut être plus simple par l'absurde

x,y>0 le k qui fonctionne

y->x+ , on en déduit l f ' (x) l majorée par k

or f ' non bornée sur I

[Lierre Aeripz]

f lipschitzienne sur I signifie


Donc f non lipschitzienne s'écrit


Ca coule tout seul avec ça !

[Dysklain]

en effet ça marche très bien en se servant de la dérivée.
bon dans le dm il demandait d'utiliser les suites dont j'ai parlé précédemment mais je m'en passerait, ce n'est pas grave ;)
merci bcp