Fonction quantile d'une loi normale : preuve

[fioldodidi]

Bonjour,

Je dois montrer que la fonction quantile d'une loi normale notée verifie pour tout :



Mais je ne vois pas quelle formulation de la fonction quantile peut prouver cette égalité, quelqu'un a une idée ?

Merci

[Lostounet]

Salut,
Peut-être en calculant l'image de chaque membre de l'égalité par la fonction de répartition F d'une va. N(mu,sigma^2) ?

Si on calcule F(mu + s*F^(-1)(p,0,1)) où F désigne la fonction de répartition d'une variable X suivant la loi N(mu,s^2) alors:

F(mu + s*F^(-1)(p,0,1) )
= P(X <= mu+ s*F^(-1) (p,0,1))
= P( (X-mu)/s < F^(-1)(p,0,1)
= P(Z<F^(-1)(p,0,1))
Où Z est N(0,1)
= ...

De même F(F^(-1)(p,mu, s) = p

Il faudrait peut-être rappeler les résultats qu'on utilise sur la fonction quantile ici.
Est-il vrai que F(x)=F(y) implique x=y pour la fonction de répartition ? Pourquoi ? (Que dire de la fonction de répartition de la loi normale?)

[fioldodidi]

Merci pour la réponse rapide !

Si on a deux v.a.r qui ont le même ensemble d'arrivé et mêmes fonctions de répartition alors elles sont de mêmes lois mais mu + s*F^(-1)(p,0,1) et F^(-1)(p,mu, s) sont pas de var ? si ?

[Lostounet]

Merci pour la réponse rapide !

Si on a deux v.a.r qui ont le même ensemble d'arrivé et mêmes fonctions de répartition alors elles sont de mêmes lois mais mu + s*F^(-1)(p,0,1) et F^(-1)(p,mu, s) sont pas de var ? si ?

Mais là je n'ai pas dit que ces deux réels étaient des variables aléatoires.
J'ai juste calculé leurs images par la fonction de répartition associée à X, une variable aléatoire suivant la loi normale N(mu,s^2)

J'ai montré que ces deux réels avaient même image (égale à p ) par la fonction F.
Or la fonction F est injective car elle est strictement croissante sur R dans le cas d'une gaussienne.
Donc ces réels sont égaux.

Les gens sont-ils d'accord ?