Fonction puissance

[jeje56]

Bonjour,

Soit a>0 et une suite de ractionnels tendant vers un réel x : la proposition est-elle démontrable sans argument de continuité ?

Merci bcp !

[Ben314]

Salut,
Vu que la définition de la continuité, c'est un calcul de limites, tu est grosso modo en train de demander de calculer une limite sans utiliser de... limites : ça risque de pas être façile !!!

De plus, façe à ce genre de question, il faudrait savoir ce que tu prend comme définition de a^x lorsque x est un quotient et, surtout, lorsque x n'est pas un quotient !!!

[jeje56]

En fait, je travaille sur le leçon 73 du Capes, construction de l'exponentielle...
Mon but étant de déterminer l'ensemble des solutions de l'équation : f(x+y)=f(x)f(y), x et y dans R, je raisonne par analyse synthèse :

Analyse : je conclus à : Si f est dans S alors f(x)=a^x où a^x est définie comme suit : si (r_k) est une suite de rationnels tendant vers x, alors a^(r_k) tend vers a^x ;

Synthèse : vérifiions que les a^x définies précédemment vérifient l'équation ;
On prend deux suites (r_k) et (s_k) tendant respectivement vers x et y, et on dit : (par définition des fonctions à exposants rationnels)
Donc, par passage à la limite :
Ceci me pose problème, puisque, à priori dans la synthèse, a^{r_k} n'est pas continue sur R...

Merci bcp !

[ffpower]

C'est vrai que la question n'est pas claire. Si le but c'est de définir élémentairement la fonction exponentielle, sachant que tu as définis élémentairement pour rationnel, je pense que ta question serait plutot : comment montrer sans utiliser la fonction exponentielle que si est une suite de rationnel tend vers , alors converge vers un réel, que j'ai envie d'appeler .

edit : post simultané, mon post est du coup un peu HS en fait :happy2:

[ffpower]

Cela dit c'est toujours pas clair : tu tiens à refuser à te servir de la definition ?
C'est vrai que redéfinir les puissances à la main est interessant, mais ca m'a l'air un peu HS par rapport à l'exo lui même

[jeje56]

Clairement non pour exp(x*ln(a)) puisque la fonction exponentielle n'est pas supposée connue dans cette leçon...

[ffpower]

Ah, ok. Bon donc finalement, j'étais pas si HS, on cherche bien à définir a^x à la main. Par contre peut on se permettre d'utiliser des arguments de complétude de R? ou au moins que toute suite croissante et majorée converge? Ca risque d'etre délicat sans ça

PS : rassure moi, on suppose bien f continue dans l'énoncé?

[jeje56]

Oui oui :-)

[ffpower]

Ok, donc voilà un moyen : déjà prouve que r->a^r ( rationnel ) est croissant si a>1, décroissant si a1 ( on oublie le cas a=1 qui est trivial ).

Commençons par montrer que r->a^r est continue en 0:
Pour cela remarquons par exemple que si p est un entier :

grace à la formule du binome par exemple, puis ceci implique . Par suite si , alors

ce qui donne la continuité en 0.

Maintenant, si est une suite de rationnels de Cauchy, majorée par un certain entier N, alors on écrit que

La continuité en 0 permet de conclure que est de Cauchy donc convergente.

Voilà une des méthodes possibles. Ya peut être plus expéditif, faudra voir ce qu'en pense Ben, mais c'est pas évident d'être à la fois expéditif et élémentaire^^

[Doraki]

Tu as prouvé quelque part que x -> a^x est continue sur Q+ ?
Il me semble que c'est assez important, rien que pour pouvoir dire que ta fonction est bien définie et que quelque soit la suite rk qui tend vers x, on trouve la même valeur pour a^x.

Après il me semble que le passage à la limite se fait bien :

Si rk -> x et sk -> y alors (rk+sk) -> y, donc
a^y = lim (a^(rk+sk)) = lim (a^rk * a^sk) = lim (a^rk) * lim (a^sk) = a^x * a^y.

[jeje56]

Merci à vous deux :

Doraki, tu utilises : r_k -> x implique f(r_k) -> f(x) avec f continue sur Q : je pensais que ce résultat était valable uniquement quand x est dans Q... non ?

[Doraki]

En faut il faut un truc un tout ptit peu plus fort que la continuité :
Il vaut mieux prendre 2 suites de rationnels rk et sk qui tendent vers la même limite x, et expliquer pourquoi a^rk et a^sk tendent vers le même nombre.
Supposons par exemple a >0.

Soit e>0,
soit e'>0 tel que |a^(x+e')| * |1 - a^(2e')| < e. (on utilise la continuité en 0)
soit n tel que pour k>=n, |rk-x| < e' et |sk-x| < e'.
Alors pour tout k>=n, |rk-sk| < 2e', et
|a^rk - a^sk| = |a^sk| * |1 - a^(rk-sk)| <= |a^(x+e')| * |1 - a^(2e')| < e

(si a < 0 il faut changer x+e' en x-e', c'est tout)

Donc on a bien le droit de définir "a^x = lim a^rk si rk est une suite de rationnels qui tend vers x".
(en fait on a utilisé que x -> a^x est localement uniformément continue)

Après, c'est cette définition de a^x et les propriétés des limites qui font que
a^x+y = a^x * a^y se transpose de x et y rationnels à x et y réels.

[jeje56]

D'accord... Merci Doraki.