Fonction presque Lipschitzienne

[mechmaj]

Bonjour,
je suis en première année d'études supérieurs en mathématiques,
je dois répondre à l'exercice suivant :
Soit A = (a,b), a,b ∈ R∪{−∞,+∞}, f : A ⊆ R → R. On dit que f est une fonction presque Lipschitzienne si
∀ε > 0∃L > 0 t.q. ∀x, y ∈ A, |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| + ε.

Montrer que f : A ⊆ R → R est uniformément continue si et seulement si f est presque Lipschitzienne.

pour la première implication "=>": (en supposant que la fonction est uniformément continue, montrer qu'elle est presque Lipschitzienne)
j'ai tout simplement écrit : |f (x) − f (y)| ≤|f (x) − f (y)| + L|x − y| ≤ L|x − y| + ε.
étant donné qu'on n'additionne que des nombres positifs, mais apparemment c'est faux , je ne comprends pas exactement pourquoi.

Merci

[Ben314]

Salut,
Si effectivement tu as "tout simplement écrit" que |f (x) − f (y)| ≤|f (x) − f (y)| + L|x − y| ≤ L|x − y| + ε. sans préciser qui sont x, y , L, et ε là dedans, c'est pas que c'est faux, c'est surtout que ça n'a pas le moindre sens !
Qui est situé où ? qui dépend de qui ? dans quel ordre y-a-t-il dépendance ?

[mechmaj]

je n'ai évidemment pas simplement écrit l'inégalité, j'avais spécifié ce qu'étaient x,y,L, et epsilon, c'était sous entendu dans le message mais je n'ai visiblement pas été claire, ma réponse était fausse en réalité au niveau du raisonnement.
sinon j'avais écrit:
f : A ⊆ R → R est uniformément continue alors,
∀ε > 0 ∃∂ > 0 t.q. ∀x, y ∈ A,| x − y|≤ ∂ => |f (x) − f (y)| ≤ ε.
soit L>0
|f (x) − f (y)| ≤|f (x) − f (y)| + L|x − y| ≤ L|x − y| + ε.
alors f est presque Lipschitzienne.

[Ben314]

f : A ⊆ R → R est uniformément continue alors,
∀ε > 0 ∃∂ > 0 t.q. ∀x, y ∈ A,| x − y|≤ ∂ => |f (x) − f (y)| ≤ ε.
soit L>0
|f (x) − f (y)| ≤|f (x) − f (y)| + L|x − y| ≤ L|x − y| + ε.
alors f est presque Lipschitzienne.

Ben c'est pas mieux vu que dans ta dernière affirmation, on sait pas qui c'est le x et le y qui trainent dedans.
- Soit c'est des éléments quelconques de A et ton affirmation est fausse vu que tu utilise le fait que |f (x) − f (y)| ≤ ε alors que ce n'est vrai qu'à condition que | x − y|≤ ∂.
- Soit c'est des éléments de A tels que | x − y|≤ ∂ et ton affirmation est effectivement vrai, (mais sans le moindre intérêt vu que moins précise que celle d'au dessus). Sauf que ça ne sert quasiment à rien pour montrer le résultat vu que ce dernier dit qu'on doit avoir |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| + ε pour tout x,y de A et pas seulement pour ceux tels que | x − y| soit "assez petit".

Bref, à part la définition de "uniformément continue" qui est effectivement correcte, le reste est sans le moindre intérêt.