La fonction Gaussienne

[Sarra_sonia]

Salut,

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la chose suivante?

"La fonction Gaussienne centrée en 0 minimise le principe d'incertitude de Fourier."

Merci d'avance.

[beagle]

wikipedia : transformation de Fourier chapitre principe d'incertitude:
"On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de f(x) est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons f intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera f normalisée :
\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,{\rm d}x=1.
Par le théorème de Plancherel, on sait que \hat f est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour du point x = 0 par la dispersion autour de zéro2 :
D_0(f)=\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,{\rm d}x.
En probabilités, il s'agit du moment d'ordre 2 de |f|2.

Le principe d'incertitude dit que si f(x) est absolument continue et que les fonctions x·f(x) et f;)(x) sont de carrés intégrables, on a alors3
D_0(f)D_0(\hat{f}) \geq \frac{1}{16\pi^2}.
L'égalité n'est atteinte que pour f(x)=C_1 \,{\rm e}^{{-\pi x^2}/{\sigma^2}} (alors \hat{f}(\xi)= \sigma C_1 \,{\rm e}^{-\pi\sigma^2\xi^2}) pour > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance 2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance –2."

[Sake]

Autrement dit, les gaussiennes sont les seuls paquets d'onde qui vérifient Dx*Dp = h/(4*pi).

Voir mon sujet d'août pour une tentative de calcul :
http://www.maths-forum.com/mecanique-quantique-166213.php