Intégrale fonction gaussienne

[Diesel]

Bonjour à tous,

Je cherche à comprendre la démonstration de l'intégrale des fonctions gaussienne. Elle est assez simple, mais je parviens pas à comprendre comment on passe d'une étape à l'autre dans celle-ci.



Tout d'abord, la justification pourquoi cette intégrale peut être calculée me parait bizarre : tout d'abord (pas de problème là-dessus) car cette fonction est continue sur R. Mais ensuite, la justification me parait bizarre :

Je sais que l'intégration n'est envisageable que si existe et est finie, mais pour moi, la limite au dessus n'est pas celle d'une intégrale de la fonction d'origine. Pouvez-vous m'expliquer ce choix ?

Ensuite, plus loin dans la démonstration, il est écrit (A' = ]0, +OO[x]0,PI/2[) :

Je n'ai trouvé nulle part dans mon cours - à moins de ne pas avoir l'avoir lu assez attentivement - une formule qui permettait de faire d'une intégrale double une multiplication de deux intégrales simples. Dans ce cas, je suppose qu'on ne peut faire ça que dans des très peu de cas, pouvez-vous m'indiquer dans lesquels ?

Je suis assez désolé de ne faire que profiter de ce forum sans pouvoir y apporter de l'aide...

En tout cas merci à vous d'avance

[Monsieur23]

Aloha,

Pour ta première question, tu peux regarder du côté de la comparaison avec les intégrales de Riemann : en gros 1/x² est intégrable, et ta fonction est plus petite.

Pour la seconde, tu peux jeter un œil au théorème de Fubini, qui te dis exactement dans quels cas tu peux faire ça (presque tout le temps en fait).

[Diesel]

Merci pour cette réponse rapide :)


Par contre pour la deuxième question, es-tu sûr d'avoir bien lu ce que j'ai écrit ? Car dans cette formule je ne permute pas l'ordre d'intégration (ce qui est d'après ce que je lis le théorème de Fubini), je casse une intégrale double en une multiplication d'intégrales simples.

[Monsieur23]

Yép, j'ai bien lu.

En fait on se sert de Fubini habituellement pour permuter les intégrales, mais il te dit en fait que sous certaines hypothèses, on peut séparer l'intégrale double en deux intégrales simples, et ce dans n'importe quel ordre (voir la page http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fubini par exemple).

[Diesel]

D'accord, je pense avoir trouvé dans le livre où se trouve cette explication. Merci.

J'ai d'ailleurs une question qui est un peu plus générale.

Disons que j'ai un ensemble : A = ]a, b[ x ]c, d[

Lorsque je vois



Faut-il calculer

ou ?
Je demande cela, car dans les corrigés que nous recevons, c'est le dx et le dy sont toujours inversés par rapport aux énoncés avec simplement le A.

[Monsieur23]

Justement, Fubini te dis de le faire dans le sens que tu veux! En fait, pour l'intégrale double sur A, l'ordre dxdy est artificiel, on pourrait plutôt mettre d(x,y).

[Diesel]

Mais si je prends par exemple la fonction

et


La fonction est donc continue sur \ et donc sur A.

J'ai donc une fois pour un y fixé dans ]0, 1] que la fonction est continue sur [0, 1], donc elle est intégrable sur [0, 1]:

Je continue la résolution :


Et donc même chose pour x fixé dans ]0, 1] :

idem


J'ai donc simplement inversé l'ordre d'intégration et la valeur n'est pas la même. Il doit sûrement y avoir une erreur dans mon raisonnement, mais je ne comprends pas où elle se situe. Je suis assez désespéré :help:

En tout cas, merci beaucoup de prendre autant de temps pour m'aider, c'est vraiment gentil.

/MODIF : Je vois que c'est le même exemple de la page Wikipedia que tu m'as fourni. Mais cet exemple me perturbe beaucoup, car je croyais que l'unique critère d'intégrabilité d'une fonction était qu'elle devait être continue sur l'ensemble sur lequel on veut l'intégrer.

[emdro]

Bonjour,

attention à ne pas confondre les domaines ouverts et fermés...

Revenons à des fonctions d'une variable, par exemple .
Cette fonction est bien continue sur . Pourtant, l'intégrale n'est pas définie...

Le théorème que tu connais dit que si la fonction est continue sur , alors elle est intégrable sur . Il ne s'étend pas aux fonctions continues sur seulement.

Pour les fonctions de deux variables, c'est la même chose : ta fonction est certes continue sur , mais pas sur .


Quant à ton autre question, les conditions pour pouvoir transformer une intégrale double en produit de deux intégrales simples sont d'avoir une fonction à variables séparables d'une part, et d'intégrer sur un domaine rectangulaire d'autre part.

[Diesel]

Je me doute qu'il y a quelque chose qui cloche. Pour 1/x, j'arrive à démontrer que la fonction n'est pas intégrable en ]0, 1], car

Et comme ce n'est pas une limite finie, la fonction n'est pas intégrable.

Je pense que je suis en train de m'inquiéter pour peu, car la probabilité de tomber sur un exercice comme je l'ai donné plus haut est très petite. Mais que faudrait-il écrire comme justification pour dire que la fonction plus haut n'est pas intégrable ? Je suis désolé d'insister autant, mais je suis vraiment perdu

[emdro]

Je pense que je suis en train de m'inquiéter pour peu, car la probabilité de tomber sur un exercice comme je l'ai donné plus haut est très petite. Mais que faudrait-il écrire comme justification pour dire que la fonction plus haut n'est pas intégrable ? Je suis désolé d'insister autant, mais je suis vraiment perdu

Eh bien, exactement par le calcul que tu as fait ! Si la fonction était intégrable, par le théorème de Fubini, on pourrait intervertir l'ordre des intégrations, et on aurait ...

[Diesel]

D'accord, je comprends mieux maintenant. Je comprends vite mais faut m'expliquer longtemps :)

Merci beaucoup à vous deux et bonne journée :)

[deltab]

Bonsoir.

L'application du théorème de Fubini, comme tout théorème, est assujettie à des conditions de validité, entre-autres l'existence de l'intégrale double (je dis bien intégrale double et non intégrales simples répétées).
En ce qui concerne l'intégrale , on a:


où

On montre que l'intégrale double existe et on peut alors la calculer en coordonnées polaires et l'utilisation du théorème de Fubini est valable.

Si , alors



PS.

Je n'ai pas tenu compte du paramètre dans mes calculs, mais ce n'est pas gênant. L'intégrale ne converge que si \alpha>0 et on peut alors faire le changement de variable u=\sqrt{\alpha}x nous ramène au calcul de au nom de la variable d'intégration près.

[deltab]

Bonsoir.

L'application du théorème de Fubini, comme tout théorème, est assujettie à des conditions de validité, entre-autres l'existence de l'intégrale double (je dis bien intégrale double et non intégrales simples répétées).
En ce qui concerne l'intégrale , on a:


où

On montre que l'intégrale double existe et on peut alors la calculer en coordonnées polaires et l'utilisation du théorème de Fubini est valable.

Si , alors



PS.
Je n'ai pas tenu compte du paramètre dans mes calculs, mais ce n'est pas gênant. L'intégrale ne converge que si et on peut alors faire le changement de variable nous ramène au calcul de au nom de la variable d'intégration près.

[deltab]

Bonsoir.

L'application du théorème de Fubini, comme tout théorème, est assujettie à des conditions de validité, entre-autres l'existence de l'intégrale double (je dis bien intégrale double et non intégrales simples répétées).
En ce qui concerne l'intégrale , on a:


où

On montre que l'intégrale double existe et on peut alors la calculer en coordonnées polaires et l'utilisation du théorème de Fubini est valable.

Si , alors



PS.
Je n'ai pas tenu compte du paramètre dans mes calculs, mais ce n'est pas gênant. L'intégrale ne converge que si et on peut alors faire le changement de variable et le calcul de l'intégrale nous ramène au calcul de au nom de la variable d'intégration près.