Fonction gamma

[Le_chat]

Salut à tous!
J'ai deux questions:
1)existe t il un moyen simple de montrer que la fonction gamma d'Euler, pour les réels positifs, est bien définie? (un argument abordable en sup quoi...)

2) de même, est-ce qu'il y a une preuve "élémentaire" de l'egalité suivante, pour x positif:


En vous remerciant d'avance, cordialement, Le_chat.

[Ben314]

Salut, en fait, 'comme d'habitude), tout dépend de la définition que tu prend de la fonction Gamma : Si tu prend comme définition la formule du 2), je pense que le 1) est faisable (i.e. montrer que la limite existe) niveau sup (à mon avis les outils de term suffisent) et, évidement le 2) est alors trivial, vu que c'est la définition.

Bon, évidement, je suppose que tu sous-entandais dans ta question (mais c'est mieux en le disant...) que tu prend comme définition de la fonction Gamma celle que l'on trouve assez fréquement dans les bouquins de prépa., c'est à dire .
Dans ce cas, la convergence de l'intégrale me parrait parfaitement abordable niveau Sup, et je pense qu'avec un peu d'astuce, on peut montrer la formule du 2) sans "gros outils".

[Ben314]

En cherchant à droite à gauche, il semblerait qu'une des façons de procéder pour le 2) est d'introduire, pour , les fonctions .
En faisant des I.P.P. on montre que
Puis, avec un peu d'analyse "fine", on montre que, pour fixé,

[Le_chat]

Puis, avec un peu d'analyse "fine", on montre que, pour fixé,

Et bien justement j'étais parvenu ici, mais ensuite je ne sais pas trop comment faire... Je n'ai jamais vu de resultat du genre.
On a clairement, mais ensuite je ne vois même pas par quoi commencer pour tomber sur le resultat.

[Ben314]

La formule : permet de voir "intuitivement" que ça risque de marcher, mais cela ne prouve pas le résultat...

Perso, je commencerait par utiliser le fait que l'inégalité bien connue pour montre que, pour tout et tout on a ce qui prouve déjà que .

Pour l'inégalité inverse, je pense qu'on est obligé de "couper en rondelles" :
On fixe et .
Il existe un tel que (pourquoi ?)
La suite de fonctions converge uniformément vers sur (pourquoi ?)
Il existe donc un entier tel que, pour tout , on ait (pourquoi ?)
On conclue (pourquoi ?)

[Le_chat]

On fixe et .
Il existe un tel que (pourquoi ?)

On a en fait:
Il existe clairement un A tel que le premier terme soit inférieur à.D'autre part, tend vers 0 quand y tend vers l'infini (sinon, la fonction gamma n'est plus definie...)

Donc c'est bon pour cette partie :we:

La suite de fonctions converge uniformément vers sur

Heuuu je vois moins le truc là... je ne vois pas pourquoi ce n'est pas évident...

Il existe donc un entier N tel que, pour tout n N, on ait (pourquoi ?)

Alors d'apres la remarque precedente: Il existe un N, tel que pour tout n;)N, pour tout t dans [1/A,A]
( tout est en valeurs absolue, je ne sais pas comment faire en tex...

Donc
Avec une constante par rapport à t (ou, cela depend de x (x>1 ou x<1))

En integrant:

D'ou le résultat...

En conclusion, on a

D'où le résultat!!! Merci énormément, ça m'aide beaucoup :++:
Je n'ai par contre pas compris le coup de la convergence uniforme.