Fonction et densité

[jonses]

Bonsoir,

Je cherche à faire un exo mélangeant fonction réelle et densité dans R, mais j'ai l'impression qu'il manque peut-être des données (c'est un ami qui a dû faire cet exo et qui me l'a proposé) :

Soit

Pour tout , est fini

Je dois montrer que est dense dans


Est-ce que cet exercice est faisable avec seulement ces données ?

Pour l'instant tout ce que j'ai réussi à montrer c'est que f tend vers 0 en et en - (et encore je doute de mon raisonnement...)

Merci d'avance pour vos réponses

[mrif]

Bonsoir,

Je cherche à faire un exo mélangeant fonction réelle et densité dans R, mais j'ai l'impression qu'il manque peut-être des données (c'est un ami qui a dû faire cet exo et qui me l'a proposé) :

Soit

Pour tout , est fini

Je dois montrer que est dense dans


Est-ce que cet exercice est faisable avec seulement ces données ?

Pour l'instant tout ce que j'ai réussi à montrer c'est que f tend vers 0 en et en - (et encore je doute de mon raisonnement...)

Merci d'avance pour vos réponses

Tu poses
L'union des est dénombrable et le complémentaire de cette union est bien qui est nécessairement dense dans R

[jonses]

Tu poses
L'union des est dénombrable et le complémentaire de cette union est bien qui est nécessairement dense dans R

Désolé, mais je ne saisi pas pourquoi c'est donc nécessairement dense dans R

[mrif]

Désolé, mais je ne saisi pas pourquoi c'est donc nécessairement dense dans R

Soit x appartenant à R, et U un voisinage de x. Est-ce que U est dénombrable?

[jonses]

Soit x appartenant à R, et U un voisinage de x. Est-ce que U est dénombrable?

J'ai pas envie de dire de bêtise, mais je dirai non

[mrif]

J'ai pas envie de dire de bêtise, mais je dirai non

Oui, U n'est pas dénombrable. D'ailleurs tout intervalle ouvert de R n'est pas dénombrable puisque la fonction tan est une bijection de ]-pi/2 ; pi/2[ dans R (qui n'est pas dénombrable). Et comme tout voisinage contient un intervalle ouvert, ....

Je détaille la suite:
Je pose . On sait que F est dénombrable (c'est l'union des An), et on cherche à montrer que est non vide.



Comme est dénombrable et que ne l'est pas, n'est pas dénombrable donc non vide.

[jonses]

Ah ok ! Merci !

A vrai dire je n'aurai pensé à tout ça (que ce soit le coup des ensembles An, ou de l'intersection d'un ensemble dénombrable avec un ensemble non dénombrable, qui est dénombrable), mais c'est parce que je manque cruellement de discernement...