Fonction Convexe

[silent_james]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice d'application :
Soit E un espace vectoriel, U un convexe ouvert non vide de E, et f une application de U dans R.
1) Montrer que si f est convexe et différentiable en un point x de U alors
pour tout y dans U, f(y) est supérieur ou égal à f(x) + Df(x).(y-x).
(Dans le cas d'une fonction de R dans R, j'utilisais une interprétation géométrique : f est au dessus de sa tangente en tout point mais ici je ne vois pas comment faire...)
2) Montrer que si f est convexe et différentiable en un point x de U alors
pour tout y dans U, (Df(y) - Df(x)).(y-x) est positif.

Voilà, en vous remerciant d'avance!

[tize]

Bonjour,
pour tout on a : , donc :
et il ne reste plus qu'à montrer que le membre de gauche tend vers quand ...pas très difficile avec la définition de différentiable en ...
Pour la 2) il suffit de se servir de la 1)

[silent_james]

Ok c'est parfait, c'était tout bête !!!!
En fait, si f est convexe et Gateaux-Différentiable, ça suffit d'après ce que j'ai compris.
Je te remercie, un autre petit truc bête,
dans un livre, je vois marqué où <> est le produit scalaire dans un espace de Hilbert, je ne vois pas pourquoi c'est la même chose que Df(x).(x-y)...