Fonction convexe

[nadiya13]

Bonjour
Dans mon dm certain question je ne arrive pas a répondre. Pouvez vous m’aider SVP
Merci d’avance
c) soit e={(x,y)appartient I*R/y>=f(x)} (e est l’ensemble des points du plan situés au dessus de la courbe de f, on l’appelle « épigraphe « de f) . montrer que f est une fonction convexe sur I(un intervalle réel non vide ) si et seulement si E est une partie convexe du plan

2) réciproquement on suppose f’ croissante. On rappelle l’inégalité des accroissements finis : si il existe (m,M)R² tel que pour tout x appartenant I, m<= f’(x) <=M, alors pour tout (a,b) appartenant I²,tel que amontrer que f est convexe sur I.(pour a,b appartenant I,af(ta+(1-t)b)-tf(a)-(1-t)f(b) définie sur [0,1])

1) dans les exemple suivants déterminer les partie convexes : demi plan ; droite ; singleton ; cercle ; disque ; contour d’un triangle ; intérieur d’un triangle intérieur d’une ellipse ; intérieur d’une hyperbole ; réunion de 2 disques intersection de deux disques disjoints

[abel]

Ta fonction elle est de classe C1, C2 ?? ou juste continue ?

[nadiya13]

ellle est de classe 1

[nyafai]

bonjour
pour la première question il faut montrer les deux implications indépendamment.
supposons f convexe sur I, on doit montrer que E est convexe. pour cela il faut montrer que si (x1,y1) et (x2,y2) appartiennent à E alors, pour tout t appartenant à [0,1], (tx1+(1-t)x2, ty1+(1-t)y2) appartient à E, c'est à dire que ty1+(1-t)y2>=f( tx1+(1-t)x2 ).
comme tu sais que (x1,y1) et (x2,y2) appartiennent à E et que f est convexe (utilise la définition de la convexité), ca ne va pas être très difficile.

la difficulté dans ce genre d'exercices est de trouver quoi montrer.
je te laisse réfléchir pour la réciproque et la suite de l'exercice.