Fonction convexe

[MC91]

Bonjour,

Dans mon cours on me dit que les equivalences suivantes :
f convexe equivaut à f'' positive
f convexe equivaut à f' croissante

ne marche que lorsque l'on prend une fonction définie sur un intervalle ouvert.
Je ne vois pas pourquoi ça ne marche pas si on se place sur un intervalle fermé...

Si quelqu'un avait un contre exemple ou quelque chose qui pourrait m'éclairer un peu ce serait super !

Merci d'avance.
Bonne journée !

[Sylviel]

Si on est rigoureux tes deux équivalences sont fausses :

si f est définie et C² sur un intervalle ouvert I, telle que f">=0, alors f est convexe.

En fait tu as besoin de intervalle ouvert pour pouvoir parler de f", car la dérivée (ou la dérivée seconde) en point qui est au bord de l'intervalle ça n'a pas un sens très bien défini (en fait ça dépends des définitions et conventions que l'on prend).

Pour finir tu peux avoir des fonctions convexes qui ne sont pas dérivables (exemple : |x|) et même pas continu (mais seulement aux extrêmités de l'intervalle).