Fonction contractante

[ChM]

Bonjour,

Je rencontre des difficultés à essayer de comprendre une subtilité dans la définition d'une fonction contractante.

La définition est
1) Il existe un k < 1 tel que .
J'essaie de comprendre pourquoi cette implication est plus puissante que simplement :
2) .

J'ai cru comprendre qu'un bon exemple pour étudier cela était la fonction sur l'intervalle [-0.5 ; 0.5].

Comme , j'aurais tendance à dire que cette fonction ne satisfait ni la condition 1), ni la condition 2), mais il semblerait que je me trompe et que la condition 2) soit bien satisfaite...

Merci à celui/celle qui voudra se pencher là-dessus !

[Ben314]

Salut,
Déjà, il te manque des quantificateurs dans tes deux définitions :
1) Il existe tel que, pour tout , (avec une inégalité large indispensable pour le cas où )
2) Pour tout tels que , (il est bien clair qu'il ne peut pas y avoir inégalité stricte lorsque )
Et les deux propositions ne disent pas la même chose justement du fait des quantificateurs : le fait que implique certes qu'il existe tel que , sauf que le en question dépend du et du alors que dans la proposition 1), vu l'ordre des quantificateurs, il faut que ce soit le même pour tout les .

[Ben314]

Et, concernant ta fonction, pour dans , on a
donc le 2) est bien vérifié mais le 1) ne l'est pas vu que ce rapport tend vers 1 lorsque et tendent vers 0 donc il n'existe pas de indépendant de et qui majore le rapport.

[catamat]

Bonjour
juste pour détailler l'encadrement...



Cette expression est donc positive et ne s'annule que si x=y=0 ce qui est impossible

donc et