Fonction continue (plusieurs variables)

[Trident]

Salut, j'ai un doute sur une fonction dont on doit étudier la continuité :

soit si sinon.
La question est : f est-elle continue ?

Donc je pense qu'il faut voir si la fonction est continue en un point (x,y) de R² se situant strictement au dessus de la parabole y=x².

Soit un tel point .

On veut étudier :

. C'est là que je bloque.

Si on veut montrer que cette limite n'est pas 1, on doit trouver une façon de faire tendre (x,y) vers (x0,y0) qui ne produise pas 1 comme limite. Mais là c'est pas comme lorsqu'on étudie la continuité en (0,0).
Et puis, peut être que la limite est effectivement 1 et dans ce cas, comment calculer cette limite ?
Merci.

[Nightmare]

Hello,

ce qui nous intéresse ce n'est pas ce qui se passe en dehors de la parabole mais ce qu'il se passe sur la parabole, à savoir lorsque y=x²

[Trident]

Hello,

ce qui nous intéresse ce n'est pas ce qui se passe en dehors de la parabole mais ce qu'il se passe sur la parabole, à savoir lorsque y=x²

Ah ben oui, je suis bête donc faut regarder la limite en (x0,y0) avec y0=x0².

Mais je ne vois pas comment montrer que la limite vaut 1 ou pas.

[Doraki]

Ben il faut, pour chaque ;)<0, trouver un ;) tel que blablabla
déjà, est-ce que les fonctions (x,y) -> (e^y²/e^x) et (x,y) -> 1 sont continues le long de la parabole ?

[Trident]

Ben il faut, pour chaque (e^y²/e^x) et (x,y) -> 1 sont continues le long de la parabole ?

Oui elles sont continues par les théorèmes classiques.
Mais tu veux le faire en utilisant la définition des epsilon etc.. ?

[Trident]

En faite, je crois que je me complique la vie.

La fonction (x,y) -> e^(x²)/e^y est continue en tout point de la parabole donc si (x0,y0) est en un, alors la limitequand (x,y) tend vers (x0,y0) c'est bien f(x0,y0) = 1.

Et par ailleurs , pour les points au dessus de la parabole, la fonction est constante à 1 donc continue.
C'est juste ça ?

[Doraki]

Mais tu veux le faire en utilisant la définition des epsilon etc.. ?

Je comprendrai jamais pourquoi "utiliser la définition" est une méthode qui choque autant les élèves.
Surtout quand on a pas d'idée.

La fonction (x,y) -> e^(x²)/e^y est continue en tout point de la parabole donc si (x0,y0) est en un, alors la limitequand (x,y) tend vers (x0,y0) c'est bien f(x0,y0) = 1.

Faudrait que tu expliques mieux pourquoi la limite vaudrait toujours 1. Ta fonction c'est pas la fonction (x,y) -> e^(x²)/e^y mais c'est autre chose.

[Trident]

La définition ne me choque pas du tout, je demandais simplement.
Pourquoi c 'est pas ça ma fonction? Regarde mon premier post. Pour tous les points sur et en dessous de la parabole, on associe exp(x2)/exp(y).

[Doraki]

Ben (x,y) -> exp(x²)/exp(y) ce n'est pas pareil que f : (x,y) -> exp(x²)/exp(y) pour y <= x², et 1 pour y > x².

Donc tu gardes à l'esprit que tu sais que (x,y) -> exp(x²)/exp(y) est continue partout (ce qui sera sans doute utile), tu prends un couple (x,x²), un ;) > 0 et tu cherches un ;) tel que |x'-x|,|y'-x²| < ;) entraîne |f(x',y') - f(x,x²)| < ;).
Donc là-dedans tu remplaces f par sa définition et tu regardes ce que ça veut dire.

[Trident]

Ok, merci, je pense avoir compris.