Fonction de classe C∞ de l'ensemble des polynomes

[ilikoko123]

j'ai oublié de dire que j'ai déjà montrer que U est ouvert , donc voilà c'est fait je vous remercie

[ilikoko123]

Perso, c'est surtout que j'aurais pas cherché à calculer le déterminant de la matrice Jacobienne...
L'ensemble des polynômes unitaires de degré n, c'est le sous espace affine de donc pour rester dans un cadre simple où l'espace d'arrivé est un e.v., j'aurais considéré

Elle est (car polynomiale)
Si est la base canonique de alors pour fixé et , avec
Donc et, vu que est nul pour et non nul pour une combinaison linéaire des ne peut être nulle que si tout les coeffs sont nuls donc c'est une famille libre de donc une base.
On en déduit que est un isomorphisme de sur

Après, la question de savoir si c'est "immédiat" ou pas... :lol3:

et on utilise après le théorème d'inversion globale

[Robot]

Merci Ben,

En fait tu détermines la matrice jacobienne avec ton calcul. On peut aussi le voir à partir des polynômes symétriques élémentaires : les dérivées des polynômes symétriques élémentaires de par rapport à sont 1 et les polynômes symétriques élémentaires des variables autres que .
Effectivement, comme tu l'expliques on peut démontrer l'indépendance linéaires des colonnes de la matrice jacobienne quand les sont distincts sans calculer le déterminant jacobien.

Il n'en reste pas moins que le chemin utilisant le théorème des fonctions implicites est bien plus aisé.
Puisque , le théorème des fonctions implicites dit qu'il existe un voisinage ouvert de dans l'espace des polynômes de degré et une fonction telle que et pour tout . Ensuite il existe un voisinage ouvert de , sur lequel tous les sont définies et vérifient pour tout .
Ceci montre que est ouvert et que les fonctions 1e racine, 2e racine, ... ,-ème racine sont sur .