Fonction de classe C∞ de l'ensemble des polynomes

[ilikoko123]

bonjour à tous
un petit aide svp
Soit U l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré n et à racines
réelles simples.Pour P ;) U on note x1 < x2 < · · · < xn les racines de P.
Montrer que l’application P ;) (x1, . . . , xn) est de classe C;)
j'ai dit que le système à n équations et à n inconnues (x1, . . . , xn) cad :
| P(x1)=0
| P(x2)=0
...
admet des solution cad que chaque racine peut s'écrire en fonction des coefficients qui sont des applications linéaire donc de classe C;) mais j'ai des soucis d'avoir des fractions :( merci pour votre aide

[Robot]

Théorème des fonctions implicites.

[arnaud32]

c'est quoi la topologie consideree sur U?

[MouLou]

la topologie associée à n'importe quelle norme je présume

[ilikoko123]

Théorème des fonctions implicites.

et si je le connais pas ? ce n'est pas faisable avec le programme de math spé ?

[Robot]

Il vaut mieux le connaître, ça me semble indispensable pour cet exercice. En tout cas, ce que tu écris ne va pas du tout.

[Ben314]

Salut,
Peut-être de commencer par montrer que U est un ouvert de (pour n'importe quelle norme : elles sont toutes équivalentes sur un e.v. de dimension finie sur )
Sinon connait tu le théorème d'inversion locale ? (ça peut être suffisant ici...)

[Robot]

Le théorème d'inversion locale est essentiellement la même chose que le théorème des fonctions implicites.

[Ben314]

Certes, certes, mais si tu regarde le Programme officiel de spé (en haut de la page 37), il y a uniquement :
Caractérisation à l’aide du jacobien des difféomorphismes parmi les applications injectives de classe
(et encore, la démonstration de ce résultat est hors programme)

Donc, au mieux, ils entrevoient le théorème d'inversion locale...

[MouLou]

Oui, le TIL etait deja hors programme ya 7-8 ans, mais pas le Théorème d'inversion globale. Il y'a donc peu de chance qu'il y entre vu la tendance. (Mais bon certaines classes le faisaient)

[Ben314]

Avec que ça, tu doit t'en sortir :
Si tu note V l'ouvert de R^n constituée des (x1,x2,...,xn) tels que x1W ; (x1,x2,...xn)->(X-x1)(X-x2)...(X-xn) est clairement une bijection, tout aussi clairement C^infini et il suffit de montrer que sa réciproque est elle aussi C^infini pour conclure.

[ilikoko123]

Donc il m'est indispensable d'utiliser le TIL , je vous assure quand même que je ne vois ce titre que dans les bouquin , sans l'avoir fait en classe , en tout cas , merci beacoup pour vos réponses , j'essaierai d'aborder cet exo de la maniere que vous me proposez

[MouLou]

Le théorème d'inversion globale n'est pas suffisant ici?

[ilikoko123]

Celui global n'est pas dans mon cours non plus :(

[Ben314]

Tu as rien dans ton cours qui te permette de montre que la bijection réciproque d'une fonction est différentiable ?
Parce que, dans le sens Polynôme -> Racines, tu va pas réussir à dire grand chose...

[Robot]

Si ton cours est tel que tu le dis, cet exercice ne peut pas accompagner ton cours. D'où vient-il ?
Par ailleurs, l'application du théorème d'inversion locale présente quelques petites difficultés techniques pour le calcul du déterminant jacobien (pas immédiat de voir que c'est au signe près le déterminant de Vandermonde des racines). Techniquement, l'application du théorème des fonctions implicites est plus facile.

[Ben314]

...Techniquement, l'application du théorème des fonctions implicites est plus facile.

Je comprend pas bien la remarque (surtout dans le contexte présent où modulo de se restreindre aux polynômes unitaires on a clairement une bijection).
Donc je pense que tu doit avoir une idée derrière la tête, mais... laquelle ?

[Robot]

As-tu mené la piste que tu indiques jusqu'au bout ?
Je serais intéressé de voir si tu as une façon lumineuse de voir que le déterminant jacobien de l'application "racines donne coefficients" (autrement dit, le déterminant jacobien des polynômes symétriques élémentaires) est non nul quand les racines sont distinctes. Je sais le faire de plusieurs manières différentes , mais aucune n'est immédiate.

[Ben314]

Perso, c'est surtout que j'aurais pas cherché à calculer le déterminant de la matrice Jacobienne...
L'ensemble des polynômes unitaires de degré n, c'est le sous espace affine de donc pour rester dans un cadre simple où l'espace d'arrivé est un e.v., j'aurais considéré et

Elle est (car polynomiale)
Si est la base canonique de alors pour fixé et , avec
Donc et, vu que est nul pour et non nul pour une combinaison linéaire des ne peut être nulle que si tout les coeffs sont nuls donc c'est une famille libre de donc une base.
On en déduit que est un isomorphisme de sur (et donc que le déterminant de la matrice Jacobienne est non nul)

Après, la question de savoir si c'est "immédiat" ou pas... :lol3:

[ilikoko123]

Avec ce que vous montrer là bas , la chose devient facile en appliquant le théorème d'inversion globale , le jacobien étant toujours non nul , f est un C1 difféomorphisme de U sur f(U) , le 90% du travail est le votre dans le pdf
Sinon je m'excuse fortement pour avoir posté quelque chose sans avoir les outils suffisants pour le faire , c'est fort embarrassant de vous voir discuter sans beaucoup comprendre