Fonction avec dérivée n-ième

[Serru]

Bonsoir :ptdr:

Je rencontre en ce moment même (si si) une fonction impliquant un opérateur dérivée n-ième, genre de fonction que je n'ai jamais rencontré :

Pour n € ,

Et à vrai dire, j'ai du mal à comprendre comment elle fonctionne, j'ai donc toutes les peines du monde à résoudre l'exercice associé

Si je prends , est-ce bien , ce qui impliquerait qu'on dérive cette expression par rapport à -x ? Ou cela fonctionne-t-il autrement ?

[muse]

C'est une fonction tres tres connu dont le nom m'echappe.
Oui tu derive par rapport a -x mais bon
d()/d(-x)^n=(-1)^n*d()/dx^n donc c'est assez simple.

Bon plusieurs remarque.
Avec ce que j'ai ecris au dessus il est facile de conaitre la parité de L
L est un polynome, quel est son degres ?

[Serru]

Euh, Ln est un polynôme de degré n ?

[mathelot]

Bonjour,

est un polynôme,

considérer une fonction h quelconque de classe
ie, n fois continuement dérivable.

admet une primitive.

Cette primitive est donnée par une intégrale de 0 à .

Intégrer n fois par parties en utilisant la formule


ceçi déporte la dérivation sur h (par dualité) et diminue l'ordre de dérivation .

Quant tu auras obtenu une belle formule générale avec la fonction h,
tu peux particulariser celle çi en choisissant judicieusement
des exemples pour h.

Une fois l'exercice terminé, et seulement à ce moment là !!
regarder les polynômes de Legendre . :we:


biographie d'Adrien Legendre

[Serru]

Heu, si je comprends bien, pour tout réel x, Ln(-x) = (-1)^n Ln(x) ? Comment faire ensuite pour trouver Ln(0) ? Cette relation est facilement exploitable pour n impair (Ln(0) = -Ln(0) d'où Ln(0) = 0), mais quand n est pair, peut-on connaître cette valeur ?

[mathelot]

bah vi,

la dérivée d'une fonction paire est impaire:

démo



car f est paire




as-tu fait l'intégration par partie de la fonction produit entre 0 et x , comme je te le conseillais ? où h est une fonction
de classe

calculer n fois par intégration par parties:


tu sais faire une intégration par parties, tout de même ??

[Serru]

Oui, quand même ^^ Mais je ne vois pas d'où vient l'idée de faire cette IPP... J'aimerais rester dans l'esprit de l'exercice :we: De plus, je ne connais pas l'expression de Ln :briques:

[abcd22]

Bonjour,

Pour n * ,

Et à vrai dire, j'ai du mal à comprendre comment elle fonctionne, j'ai donc toutes les peines du monde à résoudre l'exercice associé

Si je prends , est-ce bien , ce qui impliquerait qu'on dérive cette expression par rapport à -x ?

Non, en fait le x dans n'a rien à voir avec le x de « Ln : x - > ». est un polynôme de degré 2n, est sa dérivée n-ième, qui est donc un polynôme de degré n, et Ln(x) = P(x).
La définition rigoureuse de Ln est . On peut remplacer y par n'importe quelle lettre, c'est une variable muette, comme le t sous l'intégrale dans , mais en général on écrit comme dans ton énoncé et on compte sur le contexte pour clarifier.

[mathelot]

re,

je plussoie sur ce qu'écrit abcd22:

La notation est confusante. En effet, on dérive habituellement une fonction f et non pas une image f(x).

Je te propose de poser , par définition de A:



A est une fonction polynomiale de degré 2n.

de noter sa fonction dérivée d'ordre n.

est donc une fonction polynomiale de degré n.

et de commencer les calculs demandés par une formule incluant la lettre A.


par exemple, une intégration par parties donne:


il est interdit d'écrire la variable d'intégration t ailleurs.
En effet, celle-çi est muette, contrairement aux autres variables:

tu as différentes "variables" qui n'existent pas (variables muettes):
indice dans les sommation
variable dans les signes "somme" des intégrales
variable dans la notation f:
indéterminée X dans les polynômes...

Les variables qui existent, qui ont du sens:
bornes des sommations, bornes des intervalles d'intégration
nom des fonctions (f,g..) sauf lorsque celles-çi deviennent
à leur tour des variables muettes :we:

Pourquoi les variables deviennent "muettes" ?: lorsqu'elles désignent
l'élément générique d'un ensemble.

[Serru]

re,

je plussoie sur ce qu'écrit abcd22:

La notation est confusante. En effet, on dérive habituellement une fonction f et non pas une image f(x).

Je te propose de poser , par définition de A:



A est une fonction polynomiale de degré 2n.

de noter sa fonction dérivée d'ordre n.

est donc une fonction polynomiale de degré n.

et de commencer les calculs demandés par une formule incluant la lettre A.


par exemple, une intégration par parties donne:


il est interdit d'écrire la variable d'intégration t ailleurs.
En effet, celle-çi est muette, contrairement aux autres variables:

tu as différentes "variables" qui n'existent pas (variables muettes):
indice dans les sommation
variable dans les signes "somme" des intégrales
variable dans la notation f:
indéterminée X dans les polynômes...

Les variables qui existent, qui ont du sens:
bornes des sommations, bornes des intervalles d'intégration
nom des fonctions (f,g..) sauf lorsque celles-çi deviennent
à leur tour des variables muettes :we:

Pourquoi les variables deviennent "muettes" ?: lorsqu'elles désignent
l'élément générique d'un ensemble.

Merci pour ces éclaircissements :we:

J'ai d'ailleurs finalement réussi mon exercice, merci pour votre aide :zen:

[Black Jack]

Ln n'a rien à voir ici avec un logarithme.

Autre manière d'écrire la même chose :



On a donc une famille de fonctions :







...

La notation signifiant : Dérivée n ième de (x²-1)^n par rapport à la variable x.

Donc par exemple : est la dérivée 3ème par rapport à x de (x²-1)³

On a donc par exemple :
[(x²-1)³]' = 6x(x²-1)²
[(x²-1)³]'' = 6(x²-1)² + 24x²(x²-1) = 30x^4 - 36x² + 6
[(x²-1)³]''' = 120x³ - 72x

-->

:zen: