Focntions

[chtirico]

Bonjour, n'ayant pas fait spécialité maths l'an dernier en terminale, pourriez vous me donner quelques indications pour résoudre ce problème. Merci. J'ai essayer de faire les questions 1, 2 et 3a pourriez vous me dire si c bon et pour les 2 dernières je n'ai aucune idée


Soient f les fonctions de N ds N telles que:
pour tout x,y ds N, f(x+y) pour tout x,y ds N, f(xy) >ou= f(x) f(y)

On suppose qu'il existe un entier naturel n non nul tel que f(n) = 0 et on note p le plus petit entier non nul tel que f(p)=0

1. Monter que p est premier

2. Justifier que pour tout naturel n non nul que si p|n alors f(n) = 0

3. On note n un entier naturel
3a. Montrer en considérant la division euclidienne de n par p que f ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs

3b. Montrer que f(n) = 0 ou f(n) = 1

3c. Déterminer f(1), f(2), ..., f(p-1). En déduire f(n) en fonction de n pour tout n non nul. Que dire de f(0)?

[melreg]

Salut,

Déjà, comprends-tu le problème? Sais-tu ce qu'est un nombre premier?
Si oui, voilà une petite aide, déjà pour le point 1.

1. Je te propose une preuve par l'absurde. Supposons que p n'est pas premier. Alors p s'écrit p=mn avec , 1<m,n<p.

f(p)=f(m*n)=f(n+n+...+n) f(n)+f(n)+...+f(n) = m*f(n)=0
car f(n)=0 puisque n<p et que p est le plus petit élément qui n'annule pas f.
On arrive donc a une contradiction, donc p est nécessairement premier!


NB: On peut voir la suite d'égalité aussi comme ceci:

[chtirico]

merci, j'ai essayer de faire qqch mais je ne suis pas sur. Pourriez vous me dire si c bon. J'ai aussi travailler par l'absurde:

soit p le plus petit entier tel que f(p)=0. Si p n'est pas premier alors p = ab avec a

D'apres l'inégalité 2: 0 = f(p) = f(ab) >ou= f(a) f(b)
Or f est à valeur ds N dc f(a) = f(b) = 0 ce qui est impossible car p est le plus petit entier qui vérifie f(p)=0

[miikou]

1)
soit p le plus petit entier tq f(p) = 0
si p non premier p=x*y
or 0 = f(p) sup f(x)*f(y) sup 0
donc f(y)*(x)= 0 donc f(x) ou f(y) = 0 or impossible cr x,y < p
donc p est premier
2) si p|n idem f(n)=f(kp) inf k*f(p) donc f(n) = 0
3) f ne peut prendre que p-1 valeures non nulles
le reste en resulte

[melreg]

Désolé chtirico, j'ai lu

[chtirico]

pour la 3a., voici mon raisonnement, est-il exact ? :

n = kp + r avec r
f(n) = f(kp+r) Or f(p)=0 docn f(n) Comme f(r) est un entier alors f ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs

[chtirico]

il me reste que la 3b et la 3c, pourriez vous me donner une indication. Merci d'avance

[chtirico]

1)
3) f ne peut prendre que p-1 valeures non nulles
le reste en resulte

pourriez-vous m'expliquer pourquoi p-1 valeurs ?Merci

[miikou]

re,
donc t'as f(n*1) >ou= f(n)*f(1) => f(1) = 1 ou 0

si f(1)=0
f(n+1)
si f(1)=1
on note r=n mod [p] on etudie donc 1 < r inf p-1
et la je bloque ..

[miikou]

pourriez-vous m'expliquer pourquoi p-1 valeurs ?Merci

re
tu congrus modulo p
donc n= k*n + r avec r dans [1, p-1]
il n'y a donc que p-1 valeures possibles

[chtirico]

re,
donc t'as f(n*1) >ou= f(n)*f(1) => f(1) = 1 ou 0

si f(1)=0
f(n+1) <ou= f(n) + f(1) par reccurence f(n) = 0

si f(1)=1
on note r=n mod [p] on etudie donc 1 < r inf p-1
et la je bloque ..

j'ai bien compris pour le f(1)= 1 ou 0 puis la récurrence pour monter que f(n) = 0. Reste pour f(n) = 1. Je vais chercher. merci

j'ai fait plus haut un raisonnement pour laquestion 3a, pourriez vous vérifier si il est bon. merci

[miikou]

oui il est exact ;)

[chtirico]

merci.

Pour f(1) = 1 peut on faire aussi une récurrence, on aurait
f(n+1) dc f(n+1) dc f(n+1) = 0 ou 1 ou 2

mais le pb c pkoi il ne peut pas etre égal à 0 ou 2

[chtirico]

bjr, il me reste la 3b et la 3c à faire, pourriez vous m'aider. Merci