Files d'attente et chaînes de Markov

[prejiun]

Bonjour !

Je m'intéresse aux files d'attentes, modélisées par des chaînes de Markov.
Il y a un unique guichet.
Les arrivées et départs sont des variables aléatoires de Bernouilli, de paramètres q et p. Par exemple, A(i) concerne les arrivées au temps entier i.

1. J'ai montré que X(n), la taille de la file d'attente était une chaîne de Markov, et je cherche à calculer Pi, la probabilité stationnaire, vérifiant Pi*P = Pi, ou P est la matrice de transition de notre problème.

2. Je ne parviens à montrer l'indépendance des U(i) = T(i) - T(i-1), où T(i) est l'indice de la i-ième annulation. T(1) est bien sûr le temps de la première annulation. Donc U(i) représente le temps entre deux annulations. Comment montrer que les U(i) sont indépendantes et suivent la loi T(1).

Merci d'avance, j'ai écumé beaucoup de papiers sur les chaînes de Markov mais je ne parviens pas à saisir ces détails...
J'espère que vous saurez m'aiguiller. :id:

Merci d'avance !

prejiun.

[adrien69]

2) Tu modélises sûrement ton bazar par un processus de Poisson, dont les incréments sont (je te le donne en 1000...) indépendants.
Et puis comme tu as une chaîne de Markov, tu as la propriété de Markov, ça devrait t'aider à trouver la loi de U(i) pour tout i.

1)Tu as l'expression de P ? J'ai pas le courage de calculer ça...

[prejiun]

1) J'ai une expression de P. Sur la diagonale, il y a (1-p)(1-q) + pq, sur la "diagonale" du dessus il y p(1-q) et sur celle du dessous, il y a q(1-p).
Je me demande comment calculer Pi sans résoudre ce système (que je ne parviens pas à résoudre d'ailleurs)...

2) J'ai pas de loi de Poisson, j'ai deux lois de Bernouilli pour l'arrivée et le départ. Je vois pas trop comment introduire Poisson. Et par propriété de Markov tu entends l’indépendance du passé et du futur ?

Merci beaucoup de m'aider, je suis un peu perdu dans les probas...