Famille de fonctions

par **egan** » 17 Déc 2012, 19:05

Salut tout le monde,

J'ai besoin de montrer un petit résultat sur lequel je bloque. Je m'en remets donc à vous.

Pour tout a appartenant à ]0;1], je considère la fonction

définie par:

J'aimerais montrer que si a appartient à ]0;1[, alors

admet un unique zéro, que j'appelle

, et qu'on a

(différent de 0 me va aussi d'ailleurs).

Si a=1, c'est un poil différent.

est nulle en 0. Donc là je veux montrer qu'elle admet un unique zéro dans

et cela toujours avec

(différent de 0 me va toujours).

Merci d'avance.
@+ Boris.

par **cuati** » 18 Déc 2012, 13:23

Bonjour,
c'est pas bien méchant, pour le début commence par montrer que

est strictement négative, juste en regardant son expression...

par **egan** » 18 Déc 2012, 14:48

Tu pourras vérifier que

n'est pas strictement négative si a est très proche de 1, typiquement 0.9 fait tout planter.

par **cuati** » 18 Déc 2012, 15:07

egan a écrit:Tu pourras vérifier que n'est pas strictement négative si a est très proche de 1, typiquement 0.9 fait tout planter.

Oui, excuse moi j'ai lu trop vite en étudiant

à la place de ta fonction, je regarderai à nouveau cela ce soir si j'ai le temps...

par **chan79** » 18 Déc 2012, 15:24

egan a écrit:Tu pourras vérifier que n'est pas strictement négative si a est très proche de 1, typiquement 0.9 fait tout planter.

oui, pour a=0.95 pas de zéro
[img][IMG]http://img715.imageshack.us/img715/4239/29853471.gif[/img]

par **arnaud32** » 18 Déc 2012, 15:34

l'existence de x_a ne pose pas de pb (continuite +limites aux bornes)
ensuite tu calcule la derivee et tu utilises la relation que verifie x_a

par **egan** » 18 Déc 2012, 15:49

Je suis d'accord pour l'existence d'un zéro mais par contre cela ne prouve pas l'unicité.
Je ne vois pas spécialement comment tu t'y prends d'ailleurs pour montrer que la dérivée est stricement négative.

par **arnaud32** » 18 Déc 2012, 15:54

et

tu remplaces et tu trouves un polynome de degre 2 en

...

tu deduiras l'unicite de la propriete que

si u est racine de

par **egan** » 18 Déc 2012, 15:59

Je regarde ça. Merci.

par **egan** » 18 Déc 2012, 23:03

Je suis complètement d'accord avec le fait que si la dérivée en tout zéro est strictement négative, alors le zéro est unique.

Par contre, j'ai regardé de plus près pour montrer que la dérivée de tout zéro est strictement négative et c'est pas trivial. a fait varier le signe du discriminant et quand a est suffisamment proche de 1, il devient positif. En plus les racines dans ce cas sont pas super bien placées.
Tu as regardé dans le détails ou c'était juste une piste ?

par **arnaud32** » 19 Déc 2012, 11:57

qu'as tu trouve comme polynome?
comme racines?

par **egan** » 19 Déc 2012, 18:14

Je trouve que le polynôme à étudier est:

Le discriminant est:

Le discriminant est donc strictement négatif si et seulement si

.
C'est le cas où la conclusion est immédiate.

Le discriminant est positif si et seulement si

et dans ce cas là les racines sont:

par **arnaud32** » 20 Déc 2012, 10:02

dans ce cas, peux tu placer tes racines par rapport a 0 et 1?

par **egan** » 20 Déc 2012, 13:50

C'est exactement ça mon problème. La plus grande des racines peut être plus grande que 1. Et ça ne m'arrange pas spécialement.

par **arnaud32** » 20 Déc 2012, 14:13

dans quel range evolue X?

par **egan** » 21 Déc 2012, 08:13

X est plus grand que 1.

par **egan** » 22 Déc 2012, 16:59

C'est bien un problème non ?

par **egan** » 23 Déc 2012, 11:32

Personne ?

par **egan** » 23 Déc 2012, 11:48

Autant pour moi, ya pas de soucis en fait...

par **egan** » 25 Déc 2012, 19:34

Je me permets de relancer mon post pour qu'il ne sombre pas dans les profondeurs du forum. ^^
J'ai vraiment besoin d'aide sur ce post.

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